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Eine reelle Deutung der komplexen Vektoren. (German) Zbl 0038.32402

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Full Text: DOI EuDML
References:
[1] Vergl. hauptsächlichF. Klein, Vorl. ü. d. hypergeometrische Funktion. Autographierte Vorlesung vom W.-S. 1893/94. Neue Ausgabe Berlin 1933, S. 179–196. Siehe auchH. Beck, Die Strahlenketten im hyperbolischen Raum. Diss. Hannover 1905.
[2] Beck nennt in seiner in der vorigen Fußnote zitierten Schrift die eigentlichen Geraden des hyperbolischen Raumes ”Strahlen”, die unendlich fernen Punkte ”Punktstrahlen”. In dieser wie in anderen ArbeitenBeck’s spielt dasStudy’sche Übertragungsprinzip–die Möglichkeit, die Gesamtheit der reellen eigentlichen Geraden des hyperbolischen Raumes mit Einschluß der unendlich fernen Punkte umkehrbar eindeutig auf die Gesamtheit der komplexen Punkte der projektiven Ebene abzubilden–eine große Rolle; es braucht kaum darauf hingewiesen zu werden, daß dieses Prinzip sich unmittelbar ergibt, wenn man die Koeffizienten der Formg als homogene Dreieckskoordinaten deutet. Vgl. besondersBeck, Über einen Satz von HerrnKubota. Tôhoku Math. Journ. 24 (1924), S. 190 ff., wo schon die binären quadratischen Formen durch ternäre Linearformen, d. s. im Grunde genommen Vektoren, ersetzt werden. – Da die reelle Kugel ein Bild der komplexen projektiven Geraden ist, erkennt man auch den Zusammenhang mit demHesseschen Übertragungsprinzip.
[3] Diese Bezeichnung wird im Anschluß anHilbert gebraucht.
[4] Das sind eben die ”Punktstrahlen” nachBeck; s. Fußnote 2 oben. Für den euklidischen Raum schuf die Begriffe ”Strahl” und ”Punktstrahl” schonE. Study; Ein neuer Zweig der Geometrie, Jahresber. d. DMV. XI (1902), S. 101, und Geometrie der Dynamen, Leipzig 1903, S. 200 u. 261.
[5] SieheClebsch-Lindemann, Vorl. ü. Geometrie, I1, Leipzig und Berlin 1932, S. 362 ff. In der vorliegenden Arbeit werden die Formen wie beiKlein ohne Binomialkoeffizienten geschrieben. Die Invarianten und Kovarianten werden im folgenden meist mit anderen Zahlenfaktoren, zum Teil nur mit anderem Vorzeichen gebraucht als gewöhnlich; hierzu vergl. Fußnote 7 dieser Arbeit.
[6] Eine Verknüpfung zwischen mehreren Größen derselben Art oder verschiedener Arten wird als Multiplikation bezeichnet, wenn für jede der Größenarten eine Addition definiert ist und die besagte Verknüpfung bezüglich jeder der Größen distributiv zu ihrer Addition ist. Hierüber darf eine stillschweigende Übereinkunft unter den Mathematikern festgestellt werden; trotzdem muß es einmal ausdrücklich gesagt werden, da gelegentlich die Berechtigung dieser Sprechweise angezweifelt wurde. Von verschiedener Art sind Größen zu nennen, wenn sie nicht durch eine Addition miteinander verknüpfbar sind.
[7] Die volle Übereinstimmung dieser Formel mit der analogen der gewöhnlichen Vektorrechnung wurde erreicht durch geeignete Wahl der Zahlenfaktoren der In- und Kovarianten; vergl. den Schlußsatz von Fußnote 5 dieser Arbeit.
[8] SieheF. Klein, 1. c. S. 190 f., wo das Resultat auf einem anderen Wege gewonnen wird. Vergl. hierzu auch eine Arbeit des Verf. in der Zeitschrift ”Aus Unterricht und Forschung” Bd. 5 (Stuttgart 1933), S. 112 ff. und S. 161 ff., bes. S. 116. Die Bedeutung der Gleichung (10) findet sich auch auf S. 11 der in Fußnote 1 zitiertenBeckschen Schrift.
[9] Auch diese beiden Gruppen sind noch nicht holoedrisch isomorph, denn jede Bewegung wird durch zwei der Lineartransformationen (3’) repräsentiert.
[10] Eine ähnliche Herleitung der entsprechenden Formel für den euklidischen Raum als System der in ihm enthaltenen Gewinde gab der Verf. mit Hilfe der dualen VektorenClifford’s in einem Beitrag zur Festschrift der Technischen Hochschule Stuttgart zur Vollendung ihres ersten Jahrhunderts, Berlin 1929, S. 210 ff.
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