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Exemples de processus pseudo-markoviens. (French) Zbl 0041.25201
Verf. weist darauf hin, daß es stochastische Prozesse gibt, die der Gleichung von Chapman-Kolmogorov genügen, ohne vom Markovschen Typus zu sein (pseudomarkovsche Prozesse). Ist nämlich \(X(t)\) eine zufällige Funktion und wird für \(t_0 < t_1 < \ldots < t_h < t\) mit \(F(t_0, t_1, \ldots, t_h, t; x_0, x_1, \ldots, x_h, x)\) die Wahrscheinlichkeit dafür bezeichnet, daß \(X(t) < x\) ist unter den Bedingungen \(X(t_i) = x_i\) \((i = 0, 1, \ldots, h)\) und mit \(G(t_0, \ldots, x)\) die entsprechende Wahrscheinlichkeit für den Fall, daß überdies \(X(\tau)\) im ganzen Intervall \((-\infty, t_0)\) bekannt ist, dann gilt
\[ F(t_0, t; x_0, x) = \int_{-\infty}^{+\infty} F(t_0, t_1, t; x_0, \xi, x)\,d_\xi F(t_0, t; x_0, \xi). \tag{1} \]
Für einen Markovschen Prozeß gilt (2) \(G(t_0, t; x_0, x) = F(t_0, t; x_0, x)\). Daraus folgt (3) \(F(t_0, t_1, t; x_0, x_1, x) = F(t_1, t; x_1, x)\) und die Gleichung (1) nimmt die Form der Chapman-Kolmogorovschen Gleichung
\[ F(t_0, t; x_0, x) = \int_{-\infty}^{+\infty} F(t_1, t; \xi, x) \,d_\xi F(t_0, t_1; x_0, \xi) \tag{4}\] an. Das Umgekehrte gilt aber nicht: aus (4) folgen weder (2) noch (3). Dieser Sachverhalt wird durch ein Beispiel erläutert.
Reviewer: Günther Schulz

MSC:
60J99 Markov processes
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