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A theory of cross-spaces. (English) Zbl 0041.43502

Annals of Mathematics Studies. 26. Princeton, N. J.: Princeton University Press. vii, 153 p. (1950).
In mehreren Arbeiten haben J. von Neumann and der Verf. direkte (Tensor-) Produkte von Banachräumen betrachtet. Die vorliegende Monographie gibt eine zusammenfassende Darstellung ihrer wichtigsten Ergebnisse.
Sind \(B_1\) und \(B_2\) zwei Banachraume, so wird aus den Ausdrucken \(\sum_{i=1}^n f_i\otimes g_i\), \(f_i\in B_1\), \(g_i\in B_2\), das Tensorprodukt \(B_1\circ B_2\) gebildet. Die erste Frage ist die nach geeigneten Normen auf \(B_1\circ B_2\). Es werden nur solche Normen \(\alpha\) betrachtet, für die \(\alpha(f\otimes g) = \Vert f\Vert\,\Vert g\Vert\) gilt, „Kreuznormen“. \(\alpha\) heißt gleichmäßig, wenn überdies \[ \alpha\left(\sum_{i=1}^n Sf_i\otimes Tg_i\right) \le \Vert\vert S\Vert\vert\, \Vert\vert T\Vert\vert\, \alpha\left(\sum_{i=1}^n f_i\otimes g_i\right) \] gilt für alle Operatoren \(S\) und \(T\) auf \(B_1\) bzw. \(B_2\). Ein Beispiel ist die Kreuznorm \[ \lambda\left(\sum f_i\otimes g_i\right) = \sup_{F,G} \frac{\left\vert\sum F(f_i)G(g_i)\right\vert}{\Vert F\Vert\, \Vert G\Vert}, \quad F\in B_1^*, G\in B_2^*. \] Zu jeder Norm \(\alpha\) gehört auf \(B_1^*\circ B_2^*\) eine assoziierte Norm \[ \alpha'\left(\sum_1^m F_i\otimes G_i\right) = \sup \frac{\left(\sum_1^m F_j\otimes G_j\right) \left(\sum_1^m f_i\otimes g_i\right)}{\alpha\left(\sum_{i=1}^n f_i\otimes g_i\right)} \] das Supremum ist über alle \(\sum_1^m f_i\otimes g_i\) zu nehmen. Die Kreuznorm \(\lambda\) ist die kleinste Kreuznorm, deren assoziierte Norm wieder eine Kreuznorm ist. Es gibt auch eine größte Kreuznorm \(\gamma\) auf \(B_1 \odot B_2\), die gleichmäßig ist. Vervollständigt man \(B_1\circ B_2\) nach einer Kreuznorm \(\alpha\), so entsteht ein Banachraum \(B_1\otimes_\alpha B_2\). Der konjugierte Raum \((B_1\otimes_\gamma B_2)^*\) kann aufgefaßt werden als der Banachraum aller Operatoren von \(B_1\) in \(B_1^*\). Für eine beliebige Kreuznorm \(\alpha\ge \lambda\) ist \((B_1\otimes_\alpha B_2^*\) nur der Raum aller Operatoren mit endlicher \(\alpha\)-Norm. \(B_1^*\otimes_{\alpha'}B_2)^*\) ist der Teilraum von \((B_1\otimes_\alpha B_2)^*\), der alle Operatoren enthält, die durch solche endlichen Ranges approximiert werden können, \(B_1^*\otimes_{\alpha'}B_2^*\) enthält also nur vollstetige Operatoren.
Eine eingehende Untersuchung wird für den Fall des Hilbertschen Raumes \(\mathfrak C\) angestellt. Die Schmidtsche Klasse von Operatoren auf \(\mathfrak C\) enthält alle \(A\) mit \(\sum_{ij} \vert(A\varphi_i, \psi_j)\vert^2 = \sigma(A)^2 < \infty\), \(\varphi_i,k \psi_j\) vollständige Orthonormalsysteme; die Spurklasse besteht aus allen \(A = C^* B\), \(C\) and \(B\) in der Schmidtklasse; es existiert stets die Spur \(t(A) = \sum (A\varphi_i,\varphi_i)\). Die Schmidtklasse läßt sich als der Raum \(\mathfrak C \otimes_\sigma \overline{\mathfrak C} = (\mathfrak C \otimes_\sigma \mathfrak C)^*\) auffassen \((\overline{\mathfrak C}\) der zu \(\mathfrak C\) konjugiert isomorphe Raum), \(\sigma\) die eben erklärte Norm. Ebenso wird die Spurklasse gleich \((\mathfrak C \otimes_\lambda \overline{\mathfrak C})^* = \mathfrak C\otimes_\gamma \overline{\mathfrak C}\). Es werden ferner alle gleichmäßigen Kreuznormen auf \(\mathfrak C\circ \overline{\mathfrak C}\) durch symmetrische Eichfunktionen bestimmt.
Im Anhang wird die Frage untersucht, fur welche \(\alpha\) bei reflexiven \(B_1\), \(B_2\) auch \(B_1\otimes_\alpha B_2\) reflexiv ist.

MSC:

46-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to functional analysis
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