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The theory of the Riemann zeta-function. (English) Zbl 0042.07901

Oxford: At the Clarendon Press. 346 p. (1951).
Dieses Buch ist ein stark vergrößerter Nachfolger des ,,Cambridge Tract” [The Zeta-function of Riemann, Cambridge (1930; JFM 56.0978.02)] des Verf. Wegen der vielen seit 1930 erhaltenen neuen Resultate in der Theorie von \(\zeta(s)\) war es nicht mehr möglich, im Rahmen eines ,,Cambridge Tract” eine Übersicht über die gesamte Theorie zu geben, und das jetzige Buch hat dann auch einen viel größeren Umfang als sein Vorgänger. Von den neu aufgenommenen Resultaten seien besonders erwähnt:
– die Verschärfung der approximativen Funktionalgleichung zu einer asymptotischen Entwicklung (Siegel);
– die Anwendung der zahlentheoretischen Abschätzungsmethode von van der Corput in der Theorie von \(\zeta(s)\) (Titchmarsh);
– die Vinogradoffsche Abschätzungsmethode;
– den Selbergschen Satz, daß jedenfalls ein endlicher Bruchteil der Nullstellen von \(\zeta(s)\) \((s=\sigma+it)\) auf der kritischen Geraden \(s=\frac12\) liegt.
Die Beweise sind immer lückenlos and klar dargestellt und öfters einfacher als die ursprünglichen Beweise der Entdecker. In Fällen, wo eine Wiedergabe der schärfsten in der Literatur vorhandenen Resultate allzuviel Raum beanspruchen würde, hat Verf. sich Beschränkungen auferlegt, z. B. bei der Abschätzung von \(\zeta(\frac12+ it))\). Er gibt aber eine wohl nahezu vollständige Übersicht über die in der Theorie von \(\zeta(s)\) bisher angewandten Methoden.
Die 15 Kapitel enthalten u. a. folgendes:
I (The function \(\zeta(s)\) and the Dirichlet series related to it): Dirichletsche Reihen für \(1/\zeta(s)\), \(\zeta'(s)/\zeta(s)\), \(\zeta^k(s)\), \(\zeta^k(s)/\zeta(2s)\), \(\zeta(2s)/\zeta(s)\), usw.
II (The analytic character of \(\zeta(s)\) and the functional equation): 7 Beweismethoden für die Funktionalgleichung; die ganzen Funktionen \(\xi(s)\) und \(\Xi(z)\); Charakterisierung von \(\zeta(s)\) durch die Funktionalgleichung (Hamburger).
III (The theorem of Hadamard and de la Vallée Poussin, and its consequences): die klassischen Satze über das Nichtverschwinden und die Größenordnung in Teilgebieten des kritischen Streifens \(0\leq \sigma\leq 1\); der Primzahlsatz; Gültigkeit der Dirichletschen Reihen für \(1/\zeta(s)\), \(\zeta'(s)/\zeta(s)\), \(\log \zeta(s)\) auf \(\sigma=1\).
IV (Approximate formulae): die approximative Funktionalgleichung; die schärfste Form, sowie die asymptotische Entwicklung von Riemann-Siegel werden durch komplexe Integration bewiesen.
V (The order of \(\zeta(s)\) in the critical strip): die Methoden von Weyl-Hardy-Littlewood und van der Corput; mit der letzteren Methode wird u.a. ein Beweis gegeben von \(\zeta(\frac12 + it) = O(t^{27/164})\) (Titchmarsh).
VI (Vinogradov’s method): Beweis von \(\zeta(\frac12 + it)= O((\log t \log \log t)^{1/2})\).
VII (Mean-value theorems): die asymptotische Formel für \[ \int_0^T | \zeta(\frac12+it)|^2\,dt=T\log T+(2\gamma-1)-\log 2\pi)T+\text{ Restglied } O(T^{\frac12+\varepsilon}) \] (Beweis nach Atkinson); die schärferen Resultate (Ingham, Titchmarsh) werden ohne Beweis mitgeteilt; ähnliche Probleme für \(\int_0^T \vert \zeta(\frac12+it)\vert^{2k}\,dt\) (Hardy-Littlewood, Ingham) und für \(\int_0^\infty \vert \zeta(\sigma+it)\vert^{2k} e^{-\delta t}\,dt\) (Titchmarsh).
VIII (\(\Omega\)-theorems): Anwendung des Kroneckerschen Approximationssatzes zum Beweis von Sätzen wie \(\zeta(1+it)=\Omega(\log \log t)\).
IX (The general distribution of the zeros): die Formel von Backlund für \(N(T)\) (Anzahl der Nullstellen in \(0\le\sigma\le 1\), \(0 < t\le T)\); das Restglied \(S(T)\) in dieser Formel ist \(O(\log T)\) und wechselt unendlich oft sein Vorzeichen (Titchmarsh); Sätze über \(N(\sigma,T)\) (Anzahl der Nullstellen \(\beta+ i\gamma\) mit \(\beta> \sigma\), \(0 <\gamma\le T)\) von Bohr-Landau, Carlson, Titchmarsh, Ingham, Selberg.
X (The zeros on the critical line): mehrere Beweise des Satzes von Hardy über die Existenz unendlich vieler Nullstellen von \(\zeta(s)\) auf \(\sigma=\frac12\); \(N_0(T)\) (Anzahl der Nullstellen \(\frac12+it\) mit \(0 < t\le T)\) ist \( > AT\) (Hardy-Littlewood 1921), \(> AT \log T\) (Selberg 1942).
XI (The general distribution of the values of \(\zeta(s)\)): Anwendung des Kroneckerschen Approximationssatzes; Resultate von H. Bohr.
XII (Divisor problems): Abschätzung des Restgliedes \(\Delta_k(z)\) in der asymptotischen Formel für \(\sum_{n\le x} d_k(n)\), wo \(d_k(n)\) die Anzahl der Darstellungen von \(n\) als ein Produkt von \(k\) (positiven, ganzen) Faktoren ist; von den tieferen Sätzen aus diesem Gebiet wird \(\Delta_2(x)=O(x^{17/62})\) (van der Corput) bewiesen.
XIII (The Lindelöf hypothesis): notwendige und hinreichende Bedingungen (Hardy-Littlewood) für die Gültigkeit von \(\zeta(\frac12+it)=O(t^{\varepsilon})\).
XIV (Consequences of the Riemann hypothesis): Beweis, unter Annahme der Riemannschen Vermutung, von Sätzen über das Anwachsen von \(\zeta(s)\) auf vertikalen Geraden (Littlewood, Bohr-Landau), über das Restglied \(S(T)\) in der Formel für \(N(T)\) (Bohr-Landau, Littlewood, Cramér, Titchmarsh, Selberg); über die Konvergenz von \(\sum \mu(n)n^{-s}\); über die Größenordnung von \(M(x) = \sum_{n\le x} \mu(n)\); die Vermutung \(M(n) = O(\sqrt n)\) von Mertens; die notwendigen und hinreichenden Bedingungen von Riesz und Franel für die Gültigkeit der Riemannschen Vermutung.
XV (Calculations relating to the zeros): Numerische Berechnung der Nullstellen; ältere Resultate von Gram, sowie neuere von Comrie (die ersten 1041 Nullstellen über der reellen Achse liegen alle auf der kritischen Geraden im Intervall \(0 < t < 1468)\).

MSC:

11M06 \(\zeta (s)\) and \(L(s, \chi)\)
11-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory

Citations:

JFM 56.0978.02