On the definition of normal numbers. (English) Zbl 0042.26902

Niven, Ivan; Zuckerman, H. S.

Pac. J. Math. 1, 103-109 (1951).

Ist \(R\) eine reelle Zahl und \(\bar N_r(b, n)\) die Häufigkeit, mit der die Ziffer \(b\) \((0\leq b\leq r-1)\) in der \(r\)-adischen Darstellung von \(R\) in den ersten \(n\) Ziffern im Bruchteil von \(R\) auftritt, so heißt \(R\) einfach-normal in bezug auf \(r\), wenn für jedes \(b\) \[ \lim_{n\to\infty} \bar N_r(b,n) =1/r \tag{1} \] ist. \(R\) ist normal (1. Definition), wenn \(R, rR, r^2R,\ldots\) einfach-normal in bezug auf \(r, r^2, r^3, \ldots\) wird. Daraus folgt leicht: Ist \(\bar N(B,n)\) die Häufigkeit, mit der irgendeine Folge \(B\) von \(\nu\) Ziffern in der \(r\)-adisehen Darstellung von \(R\) in den ersten \(n\) Ziffern im Bruchteil von \(R\) auftritt, so ist \[ \lim_{n\to\infty} \bar N_r(B, n)=1/r^\nu \tag{2.} \]
Mehrere Autoren haben (2) als Definition für eine normale Zahl zugrunde gelegt (2. Definition). Die Verff. zeigen nun, und füllen damit eine wichtige Lücke aus, daß aus der 2. Definition die 1. Definition folgt. (Mit dieser Frage hat sich auch S. S. Pillai beschäftigt [Proc. Indian Acad. Sci., Sect. A 12, 179–184 (1940; Zbl 0025.30802)]. Dies ist nicht selbstverständlich, und der Beweis der Verff. ist auch tatsächlich nicht einfach.

Reviewer: Edmund Hlawka (Wien)

MSC:

11K16

Normal numbers, radix expansions, Pisot numbers, Salem numbers, good lattice points, etc.

Keywords:

normal numbers; g-adic expansion

Citations:

Zbl 0025.30802

References:

[1]	Emile Borel, Les probabilitesdenombrables et leurs applicationsarithmetiques, Rend. Circ. Mat. Palermo 27 (1909), 247-271. · Zbl 0049.16401 · doi:10.1007/BF02843726
[2]	D. G. Champernowne, The construction of decimals normal in the scale of ten, J. London Math. Soc, 8 (1933), 254-260. · Zbl 0007.33701 · doi:10.1112/jlms/s1-8.4.254
[3]	J. F. Koksma, Diophantische Approximationen, Ergebnisse der Mathematik, Band 1, Heft 4, Springer, Berlin, 1937. · Zbl 0018.29501
[4]	Arthur H. Copeland and Paul Erdos, Note on normal numbers, Bull. Amer. Math. Soc, 52 (1946), 857-860. · Zbl 0063.00962 · doi:10.1090/S0002-9904-1946-08657-7
[5]	G. H. Hardy and E. M. Wright, The Theory of Numbers, Second Edition, Oxford University Press, London, 1945. · Zbl 0063.01925