×

The Diophantine equation \(ax^3+by^3+cz^3=0\). (English) Zbl 0042.26905

Die vollständige Bestimmung der rationalen Punkte auf kubischen Kurven vom Geschlecht 1 ist bisher nur in speziellen Fällen gelungen, und die meisten Resultate betreffen den äquianharmonischen Fall. Für die spezielle Kurve \[ x^3 + y^3 = Az^3 \] gab es gewisse Resultate von Sylvester, Pépin und anderen. D. K. Faddeev [Tr. Mat. Inst. Steklova 5, 25–40 (1934; Zbl 0009.19601)] bewies, daß der Rang dieser Kurve \(\leq 2\) ist, wenn \(A = \) einer Primzahl \(p\) oder \(= p^2\) ist. Verf. behandelt nun systematisch die allgemeinere diophantische Gleichung \(ax^3 + by^3+cz^3 = 0\) mit ganzzahligen Koeffizienten. Mittels verschiedener Methoden bestimmt er eine große Anzahl von Fällen, in welchen diese Gleichung unlösbar ist. Zu diesen Zecke wird u. a. die Kongruenz \(ax^3 + by^3+cz^3\equiv 0\pmod N\) für alle ganzen Moduln \(N\) untersucht. Es ergibt sich dabei, daß diese Kongruenz sehr wohl für alle \(N\) lösbar sein kann, ohne daß die entsprechende diophantische Gleichung lösbar ist; Beispiel: \(a=3\), \(b=4\), \(c=5\). Verf. operiert auch im rein-kubischen Körper \(K(\vartheta)\), wo \(\vartheta^2= a^2 b\) ist. Aus der diophantischen Gleichung ergibt sich dann eine Gleichung in Idealen \((ax+\vartheta y) = \mathfrak j\mathfrak a^3\). Hieraus erhält er durch Klassenzahlbetrachtungen oder durch Kongruenzbetrachtungen notwendige (aber nicht hinreichende) Bedingungen für die Lösbarkeit der diophantischen Gleichung; hierfür entwickelt er eine Theorie der kubischen Reste in \(K(\vartheta)\). In den vom Verf. gefundenen Resultaten sind alle früheren als Spezialfälle enthalten. Von neuen Ergebnissen seien z. B. erwähnt:
1. Es sei \(A\) eine natürliche kubenfreie Zahl, die keinen Primfaktor \(\equiv \pm 1\pmod 9\) hat; es seien ferner \(a, b, c\) natürliche Zahlen, so daß \(A=abc\), \(1\leq a< b< c\) und \((a, b) = (a, c) = (b, c) = 1\). Ist dann \(X^3 + Y^3 = AZ^3\) lösbar mit \(Z\neq 0\), so ist wenigstens eine von den Gleichungen \(ax^3 + by^3+cz^3 = 0\) lösbar.
2. Die Gleichung \(X^3 + Y^3 = AZ^3\) hat nur die triviale Lösung \(Z=0\) in den Fällen \(A= qr, qr^2, q^2 r\) oder \(q^2 r^2\), wenn \(A\not\equiv \pm 1\pmod 9\) und \(q\equiv -1\) und \(r\equiv 1\pmod 3\) Primzahlen sind, derart daß \(q\) kubischer Nichtrest von \(r\) ist.
Die Resultate von Faddeev über den Rang von \(X^3 + Y^3 = AZ^3\) werden verallgemeinert, und seine Methode zu entscheiden, ob gegebene Generatoren eine Basis bilden, wird verbessert.
Am Ende der Arbeit folgt eine Reihe von Tafeln über numerische Resultate. Eine Tafel enthält z. B. die sämtlichen lösbaren Gleichungen \(ax^3 + by^3+cz^3 = 0\) mit \(abc=A\) kubenfrei und \(\leq 500\), \(1\leq a<b<c\), \((a, b) = (a, c) = (b, c) = 1\). In einer anderen Tafel werden Basen aller lösbaren Gleichungen \(X^3 + Y^3 = AZ^3\) mit \(A\leq 500\) angegeben (abgesehen von 8 Fällen). Das kleinste \(A\) mit einem Range \(r > 2\) ist \(A=657\) mit \(r=3\).
Reviewer: Trygve Nagell

MSC:

11D25 Cubic and quartic Diophantine equations
14G05 Rational points
PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI

References:

[1] Bachmann, P.: [I] ”Die Lehre von der Kreistheilung”, Leipzig 1872.
[2] Billing, G.: [I] ”Beiträge zur arithmetischen Theorie der ebenen kubischen Kurven vom Geschlecht Eins”, Nova Acta Reg. Soc. Sci. Upsaliensis, Ser. IV, 11, 1938, No. I.
[3] Cassels, J.: [I] ”The rational solutions of the Diophantine equationY 2=X 3”, Acta math. 82, 1950, pp. 243–73. · Zbl 0037.02701 · doi:10.1007/BF02398279
[4] – [2] ”Addenda and corrigenda to [I]”, Acta math. 84, 1951, p. 299. · Zbl 0043.04307 · doi:10.1007/BF02414858
[5] Desboves, A.: [I] ”Résolution, en nombres entiers et sous sa forme la plus générale, de l’équation cubique, homogène, à trois inconnues”, Nouv. Ann. de Math., Ser. III, 5, 1886, pp. 545–79.
[6] Dickson, L.: [I] ”History of the theory of numbers”, Vol. II (Diophantine analysis), Carnegie Publ. No. 256.
[7] Faddeev, D.: [I] ”On the equationx 3+y 3=A2 3”, Trav. de l’inst. phys. math. Stekloff (Section Math.), 5, 1934, pp. 25–40 (Russian).
[8] Gauss, C.: [I] Werke, Bd. I (Disquisitiones Arithmeticae).
[9] Hasse, H.: [I] ”Über die Riemannsche Vermutung in Funktionenkörpern”, C. R. du Congr. Int. Math. Oslo 1936, Vol. I, pp. 189–206.
[10] Holzer, L.: [I] ”Über die Gleichungx 3+y 3=Cz 3,” J. f. Math. 159, 1928, pp. 93–100.
[11] Hurwitz, A.: [I] ”Über ternäre Diophantische Gleichungen dritten Grades”, Viertel-jahrschr. d. Naturf. Ges. in Zürich, 62, 1917, pp. 207–29.
[12] –: [2] ”Über die Kongruenzax e+by e+cz e (modp)”, J. f. Math. 136, 1909, pp. 272–92.
[13] Kantor, R.: [I] ”Über die Anzahl inkongruenter Werte ganzer, rationaler Funktionen”, Monatshefte f. Math. u. Phys., 26, 1915, pp. 24–39. · doi:10.1007/BF01999438
[14] Kraitchik, M.: [I] ”Recherches sur la théorie des nombres”, Paris 1924.
[15] Landau, E.: [I] ”Vorlesungen über Zahlentheorie”, Bd. I, Leipzig 1927.
[16] Legendre, A.: [I] ”Essai sur la théorie des nombres”, 2. ed., Paris 1808.
[17] Ljunggren, W.: [I] ”Einige Bemerkungen über die Darstellung ganzer Zahlen durch binäre kubische Formen mit positiver Diskriminante”, Acta math. 75, 1942, pp. 1–21. · Zbl 0060.09104 · doi:10.1007/BF02404100
[18] Markoff A.: [I] ”Sur les nombres entiers dépendents d’une racine cubique d’un nombre entier ordinaire”, Mém. de l’Acad. Imp. des Sciences de St. Péters-bourg, Ser. VII, 38, 1892, No. 9.
[19] Mordell, L.: [I] ”A remark on indeterminate equations in several variables”, Journ. London Math. Soc., 12, 1937, pp. 127–29. · Zbl 0017.00405 · doi:10.1112/jlms/s1-12.1.127
[20] – [2] ”The number of solutions of some congruences in two variables”, Math. Zeitschr. 37, 1933, pp. 193–209. · doi:10.1007/BF01474570
[21] Nagell, T.: [I] ”L’analyse indéterminée de degré supérieur,” Mémorial des Sciences Math., 39, 1929.
[22] Nagell, T.: [2] ”Sur la classification des cubiques planes du premier genre par des transformations birationnelles dans un domaine de rationalité quelconque”, Nova Acta Reg. Soc. Sci. Upsaliensis Ser. IV, 12, 1941, No. 8.
[23] Nagell, T.: [3] ”Les points exceptionnels sur les cubiques planes du premier genre”, II, ibid. Nova Acta Reg. Soc. Sci. Upsaliensis, Ser. IV, 14, 1946, No. 3. · Zbl 0061.06409
[24] Nagell, T.: [4] ”Sur la résolubilité des équations Diophan-tiennes cubiques à deux inconnues dans un domaine relativement algébrique”, ibid. Nova Acta Reg. Soc. Sci. Upsaliensis, Ser. IV, 13, 1942, No. 3.
[25] – [5] ”Sur les propriétés arithmétiques des cubiques planes du premier genre”, Acta math. 52, 1928–29, pp. 93–126. · doi:10.1007/BF02592681
[26] Nagell, T.: [6] ”Über die Einheiten in reinen kubischen Zahlkörpern”, Skrifter Vid. Selsk. Christiania, I. Mat. nat. Kl. 1923, No. II.
[27] Nagell, T.: [7] ”Zahlentheoretische Notizen. I–VI”, ibid. Skrifter Vid. Selsk. Christiania, I. Mat. nat. Kl. No. 13.
[28] Pépin, S., Father: [I] ”Sur la décomposition d’un nombre entier en une somme de deux cubes rationnels”, Journ. d. Math. (Liouville), Sér. II, 15, 1870, pp. 217–36.
[29] –: [2] ”Sur certains nombres complexes compris dans la formule 361-1”, –ibid., 1, 1875, pp. 317–72 (especially pp. 36c–72.
[30] – [3] ”Mémoire sur l’équation indéterminéex 3+y 3=Az 3”, Atti dell’ Accad. pont. de’ Nuovi Lincei, 34, 1880–81, pp. 73–130.
[31] –: [4] ”Demonstration d’un théorème de M. Sylvester sur les diviseurs d’une fonction cyclotomique”, Comptes Rendus, Vol. 90, 1880, pp. 526–28.
[32] Podsypanin, V.: [1] ”On the indeterminate equationx 3+y 2+Az 6”, Mat. Sbornik N.S. 24 (66), 1949, pp. 391–403 (Russian). · Zbl 0036.02304
[33] Selmer, E.: [I] ”Homogenous Diophantine equations”, Comptes rendus du 11 congr. des math. scandinaves, Trondheim 22–25 août 1949, No. 42.
[34] Skolem, T.: [I] ”Unlösbarkeit von Gleichungen, deren entsprechende Kongruenz für jeden Modul lösbar ist”, Oslo Vid. Akad. Avh., I. Mat. nat. Kl., 1942, No. 4.
[35] Skolem, T.: [2] ”Zwei Sätze über kubische Kongruenzen”, Kgl. Norske Vid. Selsk. Forhandl. 10, 1937, No. 24.
[36] Sommer, J.: [I] ”Vorlesungen über Zahlentheorie”, Berlin 1907.
[37] von Sterneck, R.: [I] ”Über die Anzahl inkongruenter Werte, die eine ganze Funktion dritten Grades annimmt”, Sitz. ber. d. K. Akad. d. Wiss. Wien, Math. Nat. Kl. Bd. 116, Ila, 1907, pp. 895–904.
[38] Sylvester, J.: [I] ”On certain ternary cubic-form equations” Coll. Math. Papers (Cambridge 1909), Vol. III, pp. 312–91. (especially pp.312–16 and 347–50). Originally appeared in Amer. Journ. Math., 2, 1879, pp. 280–85, 357–93, and 3, 1880, pp. 58–88, 179–89.
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. In some cases that data have been complemented/enhanced by data from zbMATH Open. This attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming completeness or a perfect matching.