Some problems on random walk in space. (English) Zbl 0044.14001

Dvoretzky, A.; Erdős, Pál

Proc. Berkeley Sympos. math. Statist. Probability, California July 31 - August 12, 1951, 353-367 (1951).

Die Verff. diskutieren die Irrfahrt im \(d\)-dimensionalen Raum. Als wesentliche Verschärfung eines Resultates von Pólya beweisen sie die folgenden Sätze betreffend die Anzahl \(L_d(n)\) der verschiedenen Punkte des Koordinatengitters und ihre Erwartungswerte, die in \(n\) Schritten passiert werden. \[ E_2(n) = {\pi n \over \log n}+O\left({n\log\log n \over \log^2n}\right),\quad E_3(n) = n\gamma_3+O(\sqrt n) \]
\[ E_4(n)=n\gamma_4+O (\log n), \quad E_d(n) = n\gamma_d+\beta_d+O(n^{2-d/2}) \text{ für } d=5,6 \] \(\gamma\) und \(\beta\) sind Konstanten. \[ V_2(n) = O\left({n^2\log\log n \over \log^3n}\right),\quad V_3(n) = O (n^{3/2}), \]
\[ V_4(n) = O(n \log n)\quad V_d(n)=O(n) \text{ für } d=5,6,... \] \(L_d(n)\) genügt dem starken Gesetz der großen Zahl, der Beweis dafür ist für \(d=2\) erheblich schwieriger als für \(d\geq 3\).
Schließlich charakterisieren die Verff. alle monotonen Funktionen \(g(n)\), welche mit der Wahrscheinlichkeit 1 der Gleichung \(g(n) \sqrt n = o[||S_d (n)||]\) genügen. \(||S_d(n)||\) bedeutet den Abstand eines Punktes des \(d\)-dimensionalen Raumes vom Nullpunkt. Beispielsweise genügt im dreidimensionalen Raum \(g(n) = (\log n)^{-1-\varepsilon}\) der vorigen Bedingung, wenn \(\varepsilon > 0\), aber nicht für \(\varepsilon = 0\).
Bei den Beweisen werden frühere Ergebnisse der Verff. sowie von Pólya benutzt.

Reviewer: Walter Saxer

MSC:

60G50

Sums of independent random variables; random walks

Keywords:

probability theory