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Non-cooperative games. (English) Zbl 0045.08202
Gegenüber den bisherigen Betrachtungen werden Spiele zwischen \(n\) Spielern nicht unter Berücksichtigung ihrer möglichen Kooperationen, sondern ohne jede solche betrachtet. Dies führt zu folgender Verallgemeinerung der Lösung von Zwei-Personen-Spielen mit insgesamt Nullgewinn. Man betrachte bei jedem Spieler seine mit den Koeffizienten \(c_{i\alpha }\) (\(\sum_{\alpha}c_{i\alpha }=1\)) und seinen reinen Strategien \(\pi_{i\alpha }\) gemäß \(s_i=\sum_{\alpha}c_{i\alpha }\pi_{i\alpha }\) gebildeten gemischten Strategien sowie seine Auszahlungsfunktionen \(p_i(s_1,\dots ,s_n)\). Ein \((s_1,\dots ,s_n)\)-Aggregat ist ein Gleichgewichtspunkt, wenn für jedes \(i: p_i(s_1,\dots ,s_n)\geq p_i(s_1,\dots ,s_{i-1},s_i',s_{i+1},\dots ,s_n)\) ist für alle Strategien \(s_i'\) des \(i\)-ten Spielers. Der erste Satz besagt nun, daß jedes endliche Spiel mindestens einen (der zweite Satz, daß es sogar genau einen “symmetrischen”) Gleichgewichtspunkt besitzt, was Verf. jetzt einfacher beweist, als dies früher [Proc. Natl. Acad. Sci. USA 36, 48–49 (1950; Zbl 0036.01104)] geschah. Die Menge der Gleichgewichtspunkte bildet dann unter gewissen Bedingungen eine gewöhnliche, unter anderen eine strenge Lösung eines Spieles. Eine wichtige Rolle spielen auch gewisse Teilmengen der Gleichgewichtspunkte als Teillösungen. Schließlich ist \(\min\) bzw. \(\max p_i(s_1,\dots ,s_n)\) mit den Gleichgewichtspunkten \(s_1,\dots ,s_n\) die untere bzw. obere Bewertung des Spieles für den \(i\)-ten Spieler. Die eingeführten Begriffe werden zum Schluß an einfachen Beispielen veranschaulicht.
Reviewer: T. Szentmártony

MSC:
91A10 Noncooperative games
Keywords:
game theory
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