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On the structure of simple semigroups without zero. (English) Zbl 0045.15608

Czech. Math. J. 1(76), 41-53 (1951); Čehoslovack Mat. Ž. 1(76), 51-65 (1951).
Un demi-groupe simple sans zéro est un demi-groupe \(D\) n’ayant pas d’autre idéal (bilatère) que \(D\) lui-même. Lorsqu’un demi-groupe possède un noyau, au sens de Sushkevich, c.-à-d. un idéal minimum, ce noyau est un demi-groupe simple sans zéro, dont l’étude présente donc un grand intérêt. Cette étude a déjà été entreprise par A. H. Clifford [Am. J. Math. 70, 521–526 (1948; Zbl 0038.01103)], mais certains des résultats présentés ici sont nouveaux et les démonstrations simples et directes donnent une bonne vue d’ensemble de la question.
L’A. introduit, après Clifford, les deux conditions suivantes:
cond. (A): \(D\) possède au moins un idéal à gauche minimal;
cond. (B): \(D\) possède au moins un idéal à gauche minimal et au moins un idéal à droite minimal.
Le résultat principal est le suivant: tout demi-groupe simple sans zéro admet une partition en groupes isomorphes.
Ce résultat, établi par Sushkevich dans le cas fini, a été aussi entrevu par Clifford, sans être énoncé explicitement. Il repose en particulier sur le théorème suivant:
Si Sushkevich est un demi-groupe simple sans zéro satisfaisant à la condition (B), il existe deux éléments \(e\) et \(f\), idempotents, tels que \(a = ea = af\). De plus, on a les implications \(a = xb \Rightarrow \bar xa = b\); \(a = by \Rightarrow a\bar y= b\). Il résulte aussi des démonstrations d’une autre propriété intéressante: pour qu’un demi-groupe \(D\) simple, sans zéro, satisfaisant à la condition (A), possède un élément idempotent, il faut et il suffit qu’il satisfasse à la condition (B).
Reviewer: Léonce Lesieur

MSC:

20M10 General structure theory for semigroups

Citations:

Zbl 0038.01103
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Full Text: EuDML

References:

[1] A. Suschkewitsch: Über die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen Umkehrbahrkeit. Math. Ann. 99 (1929), 30-50. · JFM 54.0151.04
[2] D. Rees: On semi-groups. Proc. Cambridge Phil. Sog. 36 (1940), 387-400. · Zbl 0028.00401
[3] D. Rees: Note on semi-groups. ibidem 37 (1941), 434-435. · Zbl 0063.06456
[4] A. H. Clifford: A system arising from a weakened set of group postulates. Ann. of. Math. 34 (1933), 865-871. · Zbl 0008.05002
[5] A. H. Clifford: Semigroups admitting relative inverses. Ann. of. Math. 42 (1941), 1037-1049. · Zbl 0063.00920
[6] A. H. Clifford: Semigroups containing minimal ideals. Amer. J. Math. 70 (1948), 521-526. · Zbl 0038.01103
[7] A. H. Clifford: Semigroups without nilpotent ideals. Amer. J. Math. 71 (1949), 834-844. · Zbl 0045.30101
[8] Št. Schwarz: Teória pologrúp. Sbornik prác Prirodovedeckej fakulty Slovenskej univerzity v Bratislave, č. 6 (1943), 1-64. · Zbl 0063.06833
[9] P. Dubreil: Algèbre. Paris 1946. · Zbl 0060.06809
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