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On the greatest prime factor of \(\prod^x_{k=1} f(k)\). (English) Zbl 0046.04102
Es sei \(f(x)\) ein Polynom mit ganzrationalen Koeffizienten und nicht ein Produkt solcher linearer Faktoren. \(P_x\) bezeichne den größten Primteiler von \(\prod_{k=1}^x f(x)\). Nach T. Nagell [Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 1, 179–194 (1922; JFM 48.0132.04)] ist \(P_x > c_1 x\log x\). Der Verf. beweist die Existenz einer positiven Konstanten \(c_2 = c_2(f)\), so daß \(P_x > x(log x)^{c_2 \log\log\log x}\) gilt. Ohne Beweis wird sogar \(P_x > xe^{(\log x)c_3}\) angegeben und die Vermutung \(P_x > c_4x^l,\) \(l= \text{Grad}\,f\), ausgesprochen. Zum Beweise werden die Zahlen \(u_1 < u_2 < \cdots\) des Intervalles \((x/\log x,x)\), für die \(f(u_i)\) keinen Primfaktor \(p\) mit \(x \leq p \leq c_{13} x \log\log x\) besitzt, untersucht, und für die nötigen Abschätzungen der Primidealsatz sowie ein Ergebnis von Nagell herangezogen.
Reviewer: H.-E.Richert

MSC:
11N32 Primes represented by polynomials; other multiplicative structures of polynomial values
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