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Note on normal decimals. (English) Zbl 0046.04902

Die Verff. zeigen folgenden Satz: Es sei \(f(x)\) ein Polynom \(x\) vom Grad \(g\), dessen Werte für \(x=1,2,...\) natürliche Zahlen sind. Dann ist die Dezimalzahl 0, \(f(1) f(2) ...\) normal. Ist \(N(n,t)\) die Anzahl, mit der eine feste Kombination von \(k\) Ziffern under den Ziffern von der \((n+1)\)-ten bis zur \(t\)-ten Ziffer einer Dezimalzahl vorkommt, \(N(t) = N(0,t)\), so heißt eine Zahl normal, wenn \(\lim_{t \to \infty} {N(t) \over t} = {1 \over 10^k}\). Der Beweis verläuft so: Es ist für \(t > u\) \(N(u,t) \leq N(t)-N(u) \leq N(u,t)+(k-1)\). Ist für festes natürliches \(n x_n\) die größte ganze Zahl \(x\), für welche \(f(x)\) weniger als \(n\) Ziffern besitzt [es ist \(x_n \sim \alpha(10^{1/q})^n\) für \(n\to \infty\), \(\alpha\) Konstante], nimmt die letzte Ziffer in \(f(x_n)\) den \(t_n\)-ten Platz in 0, \(f(1) f(2)...\) ein [\(t_{n+1}-t_n = n(x_{n+1}-x_n)\)], so genügt es zu zeigen \(N(t_n,t) = 10^{-k} (t-t_n)+o(t_n)\) für \(n\to \infty\) \((t_n <t \leq t_{n+1})\). Hier genügt es den Fall \(t=t_n+nX\) (\(X\) ganz) zu betrachten. Ist nun \(\theta(z)\) definiert als 1 wenn \(z\) (modulo 1) einer Zahl kongruent ist, welche in einem Intervall der Länge \(10^{-k}\) liegt und sonst 0 ist, so ist \[ N(t_n,t) = \sum_{x=x_n+1}^{x_n+X} \sum_{m=k}^n \theta (10^{-m} f(x)) + O(x_{n+1}-x_n), \] und es ist zu zeigen, daß die Doppelsumme \(= 10^{-k} nX+o(n(x_{n+1}-x_n))\) für \(0 < X \leq x_{n+1}-x_n\) ist. Alles ist gezeigt, wenn für jedes feste \(\delta >0\), \(\delta n < m < (1-\delta )n\), \[ \sum_{x=x_n+1}^{x_n+X}\theta (10^{-m} f(x)) = 10^{-k} X+o(x_{n+1}-x_n) \] gleichmäßig in \(m\) ist. Diese Summe kann aber nach geläufigen Methoden [vgl. J. F. Koksma, Diophantische Approximationen. Berlin: Julius Springer (1936; Zbl 0012.39602), S. 91–92] behandelt werden und läuft auf die Abschätzung der Weylschen Summe \[ S_{n,m,\nu} = \sum_{x=x_n+1}^{x_n+X} \exp (2\pi 10^{-m} \nu f(\nu)) \] hinaus, welche durch die Weylsche Ungleichung geleistet wird. Die Verff. zeigen noch schärfer: Für jedes \(\varepsilon\) und \(k\) (\(\varepsilon > 0\), \(k\) natürliche Zahl) sind fast alle Zahlen \(f(1), f(2),..., (\varepsilon,k)\) normal (zur Definition vgl. A. S. Besicovitch [Math. Z. 39, 146–156 (1934; Zbl 0009.20002)]).

MSC:

11K16 Normal numbers, radix expansions, Pisot numbers, Salem numbers, good lattice points, etc.

Keywords:

normal numbers
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