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Lectures in functional analysis. (Leçons d’analyse fonctionnelle.) (French) Zbl 0046.33103
Budapest: Académie des Sciences de Hongrie. VIII, 448 p. (1952).
Das Buch zerfällt in zwei Teile, der erste gibt eine Theorie der Ableitung und der Integration und stammt von F. Riesz, der zweite behandelt die Integralgleichungen und die linearen Transformationen und hat B. Sz.-Nagy zum Verf. Das Werk ist aus Vorlesungen beider Verff. entstanden, die hervorragend klare und verständliche Darstellung hält etwa die Mitte zwischen dem Stil einer Vorlesung und einer rein systematischen Entwicklung des Gegenstandes. Es wird weniger größte Allgemeinheit angestrebt, viehmehr dem Gange der historischen Entwicklung folgend ein möglichst vielseitiges Bild der Ideen und Methoden an markanten Beispielen zu geben versucht.
Der erste Teil beginnt mit einem direkten Beweis des Satzes von Lebesgue, daß jede Funktion beschränkter Variation fast überall differenzierbar ist. Es schließen sich an weitere Sätze über Funktionen beschränkter Variation und der Satz von Denjoy-Young-Saks über die vier Derivierten einer beliebigen Funktion. Das erste Kapitel (über die Ableitung) schließt mit der Differentiation und Integration von Intervallfunktionen. Das zweite Kapitel bringt das Lebesguesche Integral, das direkt ohne Einführung des Maßbegriffes erklärt wird: Es wird eingeführt für Treppenfunktionen, dann für die Grenzfunktionen wachsender Folgen von Treppenfunktionen mit beschränkten Integralen, schließlich für die Differenzen solcher Funktionen. Die damit erreichte Klasse fast überall erklarter Funktionen heißt die Klasse \(C_2\) der summierbaren Funktionen. Der Satz von B. Levi sagt dann aus, daß \(C_2\) gegenüber der nochmaligen Bildung von Grenzfunktionen wachsender Folgen mit beschränkten Integralen abgeschlossen ist. Es schließen sich an der Satz von Lebesgue über gliedweise Integration einer majorisierten Folge summierbarer Funktionen, die Summierbarkeit zusammengesetzter Funktionen, das Lemma von Fatou, die Ungleichungen von Hölder, Minkowski. Die meßbaren Funktionen werden als Grenzfunktionen summierbarer Funktionen erklärt, das Maß einer Punktmenge als Integral über die charakteristische Funktion. Absolute Stetigkeit als Kennzeichen eines unbestimmten Integrals, partielle Integration, Substitutionsregel folgen. Ein Abschnitt über den Raum \(L^2\) bringt den Satz von Riesz–Fischer, die Darstellung linearer Funktionale auf L2, Orthogonalsysteme, Komplementärzerlegungen von \(L^2\). Auch für die \(L^p\) werden die linearen Funktionale bestimmt. Es folgt die Integration von Funktionen mehrerer Variablen, der Satz von Fubini, die Ableitung und Integration von Rechtecksfunktionen. Der nächste Abschnitt bringt den Nachweis, daß die ursprüngliche Lebesguesche Definition des Integrals der hier gegebenen äquivalent ist und ergänzt die Integrationstheorie (Sätze von Egoroff, Lusin). Kap. III untersucht die linearen Funktionale auf dem Raum \(C\) der stetigen Funktionen und zeigt, daß das Stieltjesintegral als lineares Funktional auf \(C\) erklärt werden kann. Dieses von F. Riesz stammende grundlegende Ergebnis wird ausführlich dargestellt und die Auffassung des Integrals als lineares Funktional und seine Fortsetzung mittels des Satzes von Hahn–Banach als allgemeines Prinzip ausdrücklich betont. Der erste Teil schließt mit der Untersuchung des Integrals von Daniell und dem Satz von Radon–Nikodym.
Der zweite Teil beginnt in Kap. IV mit einer Darstellung der Theorie der Integralgleichungen. Volterrasche Integralgleichungen, die Neumannsche Reihe, die Approximation quadratisch integrierbarer Kerne durch Kerne endlichen Ranges bilden den Anfang. Die Alternative von Fredholm wird auf zwei Wegen abgeleitet, einmal nach E. Schmidt durch Approximation durch Kerne endlichen Ranges, dann nach der Methode von F. Riesz, der die Zerlegung von \(L^2\) in zwei komplementare Teilräume bewies, in deren einem \((1-T)^n f = 0\) gilt, im anderen \(f = (1-T)^n g\) für ein festes geeignetes \(n\), \(T\) ein vollstetiger Operator. Auch die Methode der Fredholmschen Determinanten wird kurz auseinandergesetzt. Anwendungen auf das Dirichletsche und das Neumannsche Problem der Potentialtheorie.
Kap. V bringt die axiomatische Einfuhrung des Hilbertschen Raumes, die Theorie der vollstetigen Operatoren in abstrakter Form, zuerst im Hilbertschen Raum, dann die Übertragung auf beliebige Banachsche Räume und als Beispiel zur Theorie der Banachschen Raume die Bestimmung aller linearen Operatoren des Raumes \(C\) als Integraltransformationen und die Charakterisierung der vollstetigen unter ihnen (im wesentlichen nach Radon). Kap. VI bringt die Theorie der symmetrischen vollstetigen Operatoren des Hilbertschen Raumes, die Existenz der Eigenwerte und Eigenfunktionen und deren Vollständigkeit nach den Methoden von F. Riesz und O. Kellogg. Diese Theorie wird angewandt auf die symmetrischen und hermiteschen Kerne, der Satz von Mereer wird bewiesen, die schwingende Saite nach Sz.-Nagy behandelt und der Hauptsatz der Theorie der fastperiodischen Funktionen nach H. Weyl und F. Rellich abgeleitet. Kap. VII bringt die Spektralzerlegung für beschrankte symmetrische, unitäre und normale Operatoren nach F. Riesz im wesentlichen, als Beispiele die Fourier-Plancherelsche und die Watsonschen Abbildungen. Kap. VIII enthalt die Spektraltheorie der selbstadjungierten Operatoren, die Fortsetzung symmetrischer Operatoren zu maximalen Operatoren und die Theorie der halbbeschränkten Operatoren nach K. Friedrichs und M. Krejn. Kap. IX enthält den Operatorenkalkül der Funktionen \(u\) (\(AY\) eines selbstadjungierten Operators \(A\), speziell den Satz, daß jeder lineare abgeschlossene Operator, der mit allen mit \(A\) vertauschbaren beschränkten Operatoren vertauschbar ist, eine Funktion von \(A\) ist. Es schließt sich eine Darstellung der Hauptergebnisse der Störungstheorie von F. Rellich und Sz.-Nagy an. Kap. X behandelt den Satz von Stone über einparametrige Gruppen unitärer Transformationen sowie den entsprechenden Satz von Sz.-Nagy und Hille über einparametrige Halbgruppen beschränkter selbstadjungierter Operatoren; einige Sätze über Halbgruppen allgemeiner beschränkter Operatoren von Hille u. a., den statistischen Ergodensatz von J. v. Neumann und Verallgemeinerungen davon. Kap. XI bringt kurz die Grundbegriffe der allgemeinen Spektraltheorie in Banachschen Räumen von F. Riesz, Dunford und Lorch, vor allem die Zerlegung eines Operators nach den isolierten Bestandteilen seines Spektrums. Als Anwendung wird der Satz von Wiener über absolut konvergente trigonometrische Reihen bewiesen. Das Buch schließt mit einer kurzen Darstellung der Theorie der Spektralmengen, die kürzlich J. v. Neumann gab.
[Die Verff. haben die Schriftleitung gebeten,. die folgende Ungenauigkeit im Buche richtigzustellen: Auf S. 33 wird behauptet, daß jede Funktion \(f (x)\), die zugleich mit \(-f (x)\) in die Klasse \(C\) gehört, Riemann–integrierbar ist. Das ist so unrichtig, da ja die Funktionen der Klasse \(C\) nur bis auf eine Nullmenge definiert sind. Es gilt aber, daß jede solche Funktion \(f (x)\) fast uberall gleich einer Riemann–integrierbaren Funktion ist.]
Reviewer: Gottfried Köthe

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46-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to functional analysis