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Orthogonal arrays of strength two and three. (English) Zbl 0048.00803

Perfectionnement, dans le cas d’un indice quelconque, et pour \(t = 2\) ou \(3\), des résultats obtenus par l’un des AA. [K. A. Bush, Ann. Math. Stat. 23, 426–434 (1952; Zbl 0047.01704)] dans l’étude des tableaux orthogonaux \((N, k, s, t)\). Dans les trois premiers paragraphes, la limite de Plackett et Burman: \(k\leq [(\lambda s^2-1)/(s-1)] = L\), est resserrée par l’adjonction d’un terme correctif et étendue au cas de \(t = 3\). Par exemple, si \(\lambda = 1+a(s-1)+b\), \(0 < b < s-1\), et si \(\theta\) est le plus petit entier contenu dans la racine positive de l’équation: \((b-n)(b+1-n) = s(b-2n)\), on trouve pour le \((\lambda s^3, k, s, 3)\), \(k\leq L-\theta\).
Dans une 2e partie la méthode des différences, déjà employée pour la construction des ,,balanced incomplete block designs” [R. C. Bose, Ann. Eugenics 9, 353–399 (1939; Zbl 0023.00102)], est utilisée pour construire des tableaux orthogonaux dans le cas \(t=2\). Lorsque l’indice \(\lambda\) et le nombre \(s\) sont deux puissances d’un même nombre premier, on obtient encore une solution \((\lambda s^2, \lambda s, s, 2)\) au moyen des champs de Galois; l’exemple \((32, 8, 4, 2)\) est étudié et conduit à un \((32, 9, 4, 2)\) qui est donné explicitement. Si \(s = p^n\) on peut encore parvenir au tableau orthogonal en usant d’une géométrie projective finie. Finalement des méthodes de construction et des exemples pour \(t = 3\) sont donnés et les cas \(s=2\), \(s=2^n\), \(s = p^n\) étudiés.

MSC:

05B15 Orthogonal arrays, Latin squares, Room squares
05B05 Combinatorial aspects of block designs
62K05 Optimal statistical designs
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