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Some theorems on irrationality and linear independence. (English) Zbl 0048.03304

11. Skand. Mat.-Kongr., Trondheim 1949, 77-98 (1952).
Beweis mehrerer Sätze über Irrationalität, lineare Unabhängigkeit und Transzendenz gewisser Reihen mit rationalen Reihengliedern. Als Beispiele geben wir drei dieser Sätze an.
Satz 6: Sind \(x_1,x_2,\ldots, x_r\) verschiedene, positive, reelle Zahlen, von denen 1 linear unabhängig ist, so sind mit \(f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{[nx]}{n!}\) die Zahlen \(1, f(x_1),\ldots, f(x_r)\) linear unabhängig.
Satz 9: Sei für alle ganzen Zahlen \(n\ge 0\) auch \(g(n)\) eine ganze Zahl, \(g(n+1)\ge g(n) > 0\) und \(\limsup \frac1n \log \frac{\log g(n)}{\log h} < \log k\) mit festen ganzen Zahlen \(h, k >1\), dann ist die Zahl \(a=\sum_{n=0}^\infty \frac{g(n)}{h^{k^n}}\) transzendent.
Anmerkung des Ref.: Satz 9 folgt auch fast unmittelbar aus einem Satz von Th. Schneider [J. Reine Angew. Math. 175, 182–192 (1936; Zbl 0014.20501) und 188, 115–128 (1950); Zbl 0038.18803)].
Satz 10: Seien \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty x^n h^{-\binom{n+1}{2}} k^{-n}\), \(h\) und \(k\) positive ganze Zahlen, \(h>1\). Seien ferner \(k_1, \ldots, k_r\) von 0 verschiedene rationale Zahlen und keiner der Quotienten \(k_ik_j^{-1}\), \(i\ne j\) eine Potenz von \(h\). Dann sind die Zahlen \(f(0), f^{(s)}(k_i)\) mit \(i = 1,\ldots, r\) und \(s = 0, 1, 2, \ldots\) linear unabhängig.

MSC:

11J72 Irrationality; linear independence over a field
11J81 Transcendence (general theory)