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Real algebraic manifolds. (English) Zbl 0048.38501
Eine reelle algebraische Mannigfaltigkeit im Sinne des Verf. (hier im Referat abgekürzt: reelle Mannigf.) ist ein Paar \((\mathfrak M, \mathfrak R)\) mit folgenden Eigenschaften:
1.
\(\mathfrak M\) ist eine kompakte reell-analytische Mannigfaltigkeit, und \(\mathfrak R\) ist ein Ring, dessen Elemente reell-analytische (eindeutige) Funktionen von \(\mathfrak M\) sind.
2.
Es gibt eine ein-eindeutige analytische Abbildung \(\{x_1(p),x_2(p),\dots ,x_n(p)\}\) von \(\mathfrak M\) (\(p\in \mathfrak M\)) in einen euklidischen Raum \(E^n\), die \(\mathfrak M\) singularitätenfrei in \(E^n\) einbettet und für die \(x_1(p),x_2(p),\dots ,x_n(p)\) zu \(\mathfrak R\) gehören.
3.
Der Transzendenzgrad von \(\mathfrak R\) ist gleich der topologischen Dimension von \(\mathfrak M\).
4.
Der Ring \(\mathfrak R\) ist maximal in der Klasse aller Ringe, die den Forderungen 1, 2, 3 genügen.

Eine Einbettung im Sinne von 2. wird eine Repräsentation von \((\mathfrak M,\mathfrak R)\) genannt.
Verf. stellt seinen Begriff der reellen Mannigf. dem üblichen Begriff der reellen algebraischen Mannigfaltigkeit gegenüber, die hier im Referat “variety” genannt werde. (Eine variety ist die Menge der gemeinsamen Nullstellen eines Ideals von homogenen Polynomen mit reellen Koeffizienten im reellen projektiven Raum). Ein Blatt (\(=\) sheet) einer variety ist eine Teilmenge der variety mit folgenden Eigenschaften:
1.
Zwei Punkte des Blattes können durch einen analytischen Weg innerhalb des Blattes verbunden werden.
2.
Ein Blatt ist maximal in der Klasse aller Teilmengen, die die Eigenschaft 1. haben.
3.
Ein Blatt hat wenigstens einen inneren Punkt.

Die kompakten singularitätenfreien Blätter im euklidischen Raum sind Repräsentationen einer reellen Mannigf. Jede Repräsentation einer reellen Mannigf. ist ein kompaktes singularitätenfreies Blatt einer variety (vgl. Satz 5).
Ein Blatt heißt isoliert, wenn es eine offene (zusammenhängende) Teilmenge der variety ist. Eine Repräsentation von \((\mathfrak M,\mathfrak R)\) heißt eigentlich, wenn das entsprechende Blatt isoliert ist.
Verf. beweist, daß eine differenzierbare im euklidischen Raum eingebettete Mannigfaltigkeit durch reelle Mannigf. (und damit auch durch Blätter) approximiert werden kann. Er beweist ferner, daß es zu einer analytischen Mannigfaltigkeit \(\mathfrak M\) (bis auf Isomorphie) höchstens einen Ring \(\mathfrak R\) geben kann derart, daß \((\mathfrak M,\mathfrak R)\) eine reelle Mannigf. ist. Die Approximations- und Einbettungssätze von H. Whitney werden wesentlich benutzt [ibid. 37, 645–680 (1936; Zbl 0015.32001)]. Es sollen nun die Sätze des Verf. im einzelnen angegeben werden.
Satz
Jede kompakte, differenzierbare Mannigfaltigkeit \(\mathfrak M\) in \(E^n\) kann durch eine Repräsentation einer reellen Mannigf. \((\mathfrak M^\ast,\mathfrak R)\) approximiert werden, wobei \(\mathfrak M^\ast\) zu \(\mathfrak M\) differenzierbar homöomorph ist.
Satz
Zu jeder kompakten (abstrakten) differenzierbaren Mannigfaltigkeit \(\mathfrak M\) gibt es eine eigentliche Repräsentation einer reellen Mannigf. \((\mathfrak M^\ast,\mathfrak R)\) im \(E^{2n+1}\), wobei \(\mathfrak M^\ast\) zu \(\mathfrak M\) differenzierbar homöomorph ist.
Satz
Die Punkte einer reellen Mannigf. entsprechen ein-eindeutig den maximalen Idealen von \(\mathfrak R\). Der Punkt \(p\) entspricht dabei dem Ideal aller in \(p\) verschwindenden Funktionen von \(\mathfrak R\).
Satz
Es seien \((\mathfrak M_1,\mathfrak R_1)\) und \((\mathfrak M_2,\mathfrak R_2)\) reelle Mannigf. Ein Isomorphismus von \(\mathfrak R_1\) auf \(\mathfrak R_2\) bestimmt in natürlicher Weise einen analytischen Homöomorphismus von \(\mathfrak M_1\) auf \(\mathfrak M_2\).
Satz
Jede Repräsentation einer reellen Mannigf. \((\mathfrak M,\mathfrak R)\) im \(E^n\) ist ein Blatt einer irreduziblen variety, die dieselbe Dimension wie \(\mathfrak M\) hat.
Satz
Es sei \(\mathfrak M\) eine kompakte, analytische Mannigfaltigkeit und \(\mathfrak B\) eine analytische Einbettung von \(\mathfrak M\) in \(E^n\). Es werde vorausgestzt, daß \(\mathfrak B\) ein Blatt einer variety \(V\) ist. \(\mathfrak R\) sei der Ring derjenigen reell analytischen Funktionen von \(\mathfrak M\), die (bezüglich der Einbettung \(\mathfrak B\)) algebraische Funktionen der Koordinaten von \(E^n\) sind. \((\mathfrak M,\mathfrak R)\) ist dann eine reelle Mannigf. und \(\mathfrak B\) eine Repräsentation von \((\mathfrak M,\mathfrak R)\).
Satz
Wenn zwei reelle Mannigf. differenzierbar homöomorph sind, dann sind sie isomorph als reelle Mannigf.
Reviewer: F. Hirzebruch

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