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Quadratic forms and orthogonal groups. (Quadratische Formen und orthogonale Gruppen.) (German) Zbl 0049.31106
Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen, Band 63. Berlin-Göttingen-Heidelberg: Springer-Verlag xii, 220 S. (1952).
Seit dem Erscheinen des Werkes von Bachmann ist dies das erste Buch in deutscher Sprache, in dem die seither gemachten Fortschritte auf dem Gebiet der quadratischen Formen gebührend berücksichtigt werden.
Eine Klasse quadratischer Formen über einem Koeffizientenbereich \(\Lambda\) ist praktisch dasselbe wie ein \(\Lambda\)-Modul \(R\) mit innerem Produkt (dieses Referat ist natürlich cum grano salis geschrieben). In Kap. I ist \(\Lambda\) ein Körper \(k\). \(R\) hei{\sst} dann (metrischer) Raum, seine Automorphismengruppe \(\mathfrak O\) orthogonale Gruppe. Es wird die Struktur von \(R\) und \(\mathfrak O\) (und ihrer Teilsysteme) behandelt, insbesondere mit Hilfe der Cliffordschen Algebra \(C\). Neu ist die vom Verf. entdeckte Spinornorm \(t: \mathfrak O^+\to k^\times/k^{\times 2}\). Die Räume der Dimension \(\leq 6\) werden besonders ausführlich untersucht.
Weiterhin sei \(\mathfrak o\) der Ring der ganzen Zahlen des Zahlkörpers \(k\), \(\mathfrak o_{\mathfrak p}\) der Ring ganzer Zahlen einer \(\mathfrak p\)-adischen Erweiterung \(k_{\mathfrak p}\) (analog für einen Funktionenkörper \(k\) einer Variablen über einem Galoisfeld). Im Falle \(\Lambda=\mathfrak o,\;germ o_{\mathfrak p}\) heißt der \(\Lambda\)-Modul Gitter, die Automorphismengruppe wird automorphe Einheitengruppe genannt. In Kap. II wird der Fall \(\Lambda=k_{\mathfrak p}\) bzw. \(\mathfrak o_{\mathfrak p}\) behandelt, in den restlichen Kapiteln ist \(\Lambda=k\) bzw. \(\mathfrak o\), in fünf Paragraphen ist \(k\) der rationale Körper.
Hauptziel des Buches ist, Gesetzmäßigkeiten für die verschiedenen Gitter aufzustellen, möglichst in Analogie zur Arithmetik der Zahlkörper bzw. der Algebrentheorie. Hierbei wird die Arithmetik der Zahlkörper als bekannt vorausgesetzt, die Algebrentheorie jedoch vermieden (zugunsten einer Autarkie der Theorie quadratischer Formen, aber vielleicht auf Kosten der Einfachheit). Gebraucht wird: die Theorie von Minkowski-Hasse \((\Lambda=k,\;k_{\mathfrak p})\), Modulformen, \(\vartheta\)-Reihen, Gaußsche Summen, Reziprozitätsformeln, und in Auszügen: Die Theorie von Hecke (Operatoren \(T_n\), Euler-Produkte), die Theorie von Minkowski und Siegel (Maßformeln). Für eine von Hecke analytisch entdeckte Relation für gewisse Anzahlmatrizen wird hier ein vom Verf. gefundener Beweis gegeben. (Auch der vom Verf. stammende Begriff des Spinorgeschlechts ist erwähnt.)
{Anm. des Ref.: Leider sind die Kap. VI und VII des Manuskripts nicht mitgedruckt worden.}
Reviewer: Ernst Witt

MSC:
11Exx Forms and linear algebraic groups
11-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to number theory
11E04 Quadratic forms over general fields
11E08 Quadratic forms over local rings and fields
11E12 Quadratic forms over global rings and fields
11E57 Classical groups
11E88 Quadratic spaces; Clifford algebras
15A63 Quadratic and bilinear forms, inner products
15A66 Clifford algebras, spinors
20Gxx Linear algebraic groups and related topics
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