The distribution of quadratic and higher residues. (English) Zbl 0050.04302

Davenport, Harold; Erdős, Pál

Publ. Math. Debr. 2, 252-265 (1953).

Die Verff. beweisen:
1. Der kleinste positive quadratische Nichtrest \(d\) zur Primzahl \(p\) ist \(O((p^{1/2} \log p)^\beta)\), wo \(\beta=e^{-1/2}.\)
2. Der kleinste positive \(k\)-te Potenz-Nichtrest \(d_k\) ist [falls \(p\equiv 1\pmod k\)] \(O(p^{\alpha_k+\varepsilon})\), wo \(\varepsilon\) beliebig \(>0\) und \(\alpha_k=(2 u_k)^{-1}\) ist, wo \(u_k\) die eindeutig bestimmte Lösung der Gleichung \(\rho(u) = k^{-1}\) ist und \(\rho(u)\) die Funktion, die bestimmt ist durch \(\rho(u) = 1-\log u\) für \(1 \leq u \leq 2\); \(u \rho'(u) = -\rho(u-1)\) für \(u \ge 2\). Es ist \(\alpha_k < (\log\log k)/2\log k+c/\log k\), wo \(c\) eine Konstante ist.
3. Jede Klasse von kubischen Nichtresten enthält eine positive Zahl \(p^{\gamma+\varepsilon}\), falls \(p\) genügend groß ist. Hier ist \(\varepsilon\) beliebig \( > 0\) und \(\gamma = (2u)^{-1}=0,383\ldots,\) wo \(u\) die Lösung von \(\log u+\int_1^{2u-1} \frac{\log t}{1+t} \,dt = \tfrac13\) ist.
4. Es gibt eine nur von \(k\) abhängige positive Zahl \(\eta\) derart, daß für jede genügend große Primzahl \(p \equiv 1\pmod k\) jede der \(k-1\) Klassen von \(k\)-ten Potenz-Nichtresten eine positive Zahl \(< p^{1/2-\eta}\) enthält.
5. Es sei \(h\) eine Funktion von \(p\), für die \(h \to \infty\), \(\log h/\log p \to 0\), falls \(p\to \infty\). Für Primzahlen \(p\) sei
\[ S_h(x) = \sum_{n=x+1}^{x+h} \left(\frac{n}{p}\right), \]
und \(M_p(\lambda)\) sei die Anzahl der positiven ganzen Zahlen \(x\), für die \(0 \le x < p\), und \(S_h(x) \le \lambda h^{1/2}\) ist. Für jedes feste \(\lambda\) ist dann
\[ \lim_{p\to\infty} p^{-1} M_p(\lambda) = (2\pi)^{-1/2} \int_{-\infty}^\lambda e^{-t^2/2} \,dt. \]

Reviewer: H. D. Kloosterman

MSC:

11N69	Distribution of integers in special residue classes
11A15	Power residues, reciprocity

Keywords:

distribution of quadratic residues; distribution of higher residues; Legendre symbol