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Duality in functional analysis. (Dualität in der Funktionentheorie.) (German) Zbl 0050.33502
La théorie des fonctionnelles analytiques de Fantappiè a été rattachée par J. Sebastião e Silva [Port. Math. 9, 1–130 (1950; Zbl 0041.43802)] á la théorie générale des espaces vectoriels topologiques, mais sans qu’il parvienne á munir de topologies satisfaisantes les espaces qu il considérait. Cette lacune a été comblée par C. L. de Silva Dias, G. Köthe et A. Grothendieck, qui ont (indépendamment) cu l’idée d’appliquer au problème de Silva la théorie des espaces (F) et (LF) et fait rentrer ainsi la théorie de Fantappiè dans la théorie générale de la dualité entre espaces vectoriels topologiques. Le travail de l’Auteur donne essentiellement la description de cette dualité entre les deux espaces \(P(O)\) et \(R(\Omega-O)\) définis comme suit: \(\Omega\) étant la sphère de Riemann, \(O\) un ensemble ouvert dang \(0\), \(P(O)\) est l’espace des fonctions analytiques dans \(O\) et nulles au point \(\infty\) si ce point est dans \(O\), avec la topologie de la convergence compacte qui en fait un espace de Montel (et aussi un espace de Fréchet); \(R(\Omega-O)\) est l’espace des germes de fonctions anaIytiques sur \(\Omega-O\) limite inductive des espaces de Banach formé des fonctions analytiques dans les voisinages fermés de \(\Omega-O\), ayant pour intersection cet ensemble. La dualité est realisée par l’intégrale \[ <u, x> = \frac{1}{2\pi i}\oint u(t) x(t) dt \] étendue á un système convenable de courbes. Ces résultats sont identiques á ceux déja, publiés par C. L. de Silva Dias [Bol. Soc. Mat. Sao Paulo 5, 1–58 (1952; Zbl 0049.20001)]. En outre, l’Auteur determine la forme générale d’une application linéaire continue de \(P(O_1)\) dann \(P(O_2)\), et examine certains types particuliers de telles applications.
Reviewer: Jean Dieudonné

MSC:
46-XX Functional analysis
30-XX Functions of a complex variable
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Full Text: DOI Crelle EuDML