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Higher transcendental functions. Vol. I. (English) Zbl 0051.30303

Bateman Manuscript Project. New York: McGraw-Hill Book Co. XXVI, 302 S. (1953).
Dieser vorliegende erste Band eines drei Bände umfassenden Werkes bringt, auf sechs Kapitel verteilt, ausführliches Formelmaterial von einer Ruhe für die Anwendungen der Mathematik auf Physik und Technik unentbehrlicher Funktionen. Auch die wichtigsten allgemeinen Eigenschaften der dabei berücksichtigen Funktionen werden aufgeführt. So finden sich z.B. in der Regel Angaben über die Verteilung der Singularitäten, der Größe der Residuen, die Lage der Nullstellen, die zuständigen asymptotischen Entwicklungen und a.m. Für einzelne weniger bekannte Formeln werden sogar die Ableitungen angegeben. Die Bezeichnung der Funktionen schließt sich selbstredend weitgehend dem allgemeinen Brauch an. Jedoch werden in einzelnen Fällen auch neue Bezeichnungen eingeführt und angewendet, wie z. B. bei der Funktion von Lerch und bei der konfluenten hypergeometrischen Funktion. An Inhalt und Reichhaltigkeit des Formelmaterials läßt das Werk alles bisher in dieser Hinsicht Gebotene weit hinter sich.
Das erste Kapitel (54 Seiten) behandelt die Gamma-Funktion und die aus ihr abgeleiteten Funktionen wie die Beta-Funktion und die Psi-Funktion. Ferner findet man hier das wichtigste Formelmaterial aus der Theorie der Zeta-Funktion von Riemann, der verallgemeinerten Zeta-Funktion von Mellin und einer von Lerch eingeführten Funktion, die eine noch weitergehende Verallgemeinerung darstellt. Es werden weiterhin die Zahlen und Polynome von Bernoulli und Euler erwähnt und auch noch einige hierher gehörige Integrale vom Mellin-Barns-Typus aufgeführt. Es folgt dann im zweiten Kapitel (61 Seiten) die Besprechung der hypergeometrischen Funktion von Gauß. Im Hinblick auf ihre große Allgemeinheit wird im ersten Teil des Kapitels zunächst der Theorie dieser Funktion ein größerer Raum gewidmet. Es kommen dabei zur Sprache die Fragen der analytischen Fortsetzung, die entarteten Fälle, die asymptotischen Entwicklungen für große Parameterwerte, die Gleichung von Riemann, Fragen der konformen Abbildung und der Uniformisierung, die Schwarzsche Funktion und Sätze über die Nullstellen-Verteilung. Der zweite Teil bringt das zugehörige Formelmaterial: die Reihenentwicklungen, die Beziehungen zwischen verwandten Funktionen und die verschiedenartigsten Integraldarstellungen. Das dritte Kapitel geht auf die Funktionen Legendres ein, die ja bekanntlich Sonderfälle der hypergeometrischen Funktionen sind. Für beliebiges komplexes Argument werden die beiden Kugelfunktionen wie üblich mit \(P^\nu_\mu\) und \(Q^\nu_\mu\) bezeichnet, wobei \(P\) und \(Q\) schräg stehende Antiquabuchstaben sind. Für die Kugelfunktionen mit einem reellen Argument zwischen \(-1\dots +1\) werden dieselben Zeichen in senkrechter Stellung benutzt. Um diese Unterschiede zu bemerken, muß man allerdings sehr genau hinsehen. Die verschiedenen möglichen Darstellungen von \(P\) und \(Q\) durch Reihen sind sehr übersichtlich zusammengestellt. Bei jeder dieser Formeln wird unterschieden nach dem Faktor, der zu der Reihenentwicklung tritt, und der Reihenentwicklung selbst. Der Faktor steht auf der linken Seite und ihm gegenüber auf der rechten Seite in gleicher Höhe die damit zu multiplizierende hypergeometrische Reihe. Selbstverständlich werden auch hier die asymptotischen Entwicklungen von \(P\) und \(Q\), getrennt nach den drei Fällen großer Werte von \(z,\mu\) und \(\nu\), angegeben. Ferner sind hier zu finden die verschiedenen Additionstbeoreme, sonstige Entwicklungen nach Kugel-Funktionen sowie mehrere sehr nützJiche Tabellen, aus denen das Verhalten von \(P\) und \(Q\) an den singulären Stellen \(\pm 1\) und \(\infty\) zu ersehen ist. Als besondere Fälle der Kugelfunktionen werden die Kegelfunktionen, die Ringfunktionen und die Funktionen Gegenbauers besprochen. Leider wird die etwas verzwickt liegende Frage nach der Lage der Nullstellen der Kugelfunktionen, je nachdem ob das Argument \(\cos \theta\) oder \(\mathfrak{Cos} z\) ist, hier nicht näher erörtert. Die Kapitel IV und V behandeln Verallgemeinerung der hypergeometrischen Funktion von Gauß, Im Kapitel IV (17 Seiten) wird auf die \(_pF_q\)-Funktionen eingegangen. Es, werden angegeben die Differentialgleichung, die wenigen bisher bekannten Transformationsgleichungen. sowie die wichtigsten Integraldarstellungen, die dafür gelten. Das Kapitel V (44 Seiten) behandelt als Verallgemeinerungen anderer Art die E-Funktion MacRoberts, die \(G\)-Funktionen Meijers sowie die hypergeometrischen Funktionen mehrerer Variablen. Das letzte sechste Kapitel (47 Seiten) bringt das wichtigste Formelmaterial aus der Theorie der konfluenten hypergeometrischen Funktion. Für die beiden linear unabhängigen Lösungen der zuständigen Differentialgleichung werden als Funktionszeichen nach dem Vorschlag von G. Tricomi die Buchstaben \(\Phi\) und \(\Psi\) benutzt. Die von Whittaker eingeführten Funktionen \(M_{k,m}(z)\) und \(W_{k,m}(z)\) werden nur gelegentlich erwähnt. Sonst werden alle Formeln in den Funktionen \(\Phi\) und \(\Psi\) ausgedrückt, Es werden die verschiedenen Integraldarstellungen für diese beiden Funktionen angegeben, sowie die Entwicklungen nach Laguerre-Polynomen und Bessel-Funktionen, die Laplace-Transformierte, das asymptotische Verhalten der Funktionen für Argumente und Parameter, die Multiplikationstheoreme und Nullstellen.
Jedem der sechs Kapitel ist ein Literaturverzeichnis der einschlägigen Arbeiten angehängt. Ein Sachwortverzeichnis sowie eine Zusammenstellung der benutzten Funktionszeichen erJeichtern dem Leser, sich schnell zurechtzufinden. Für den angewandten Mathematiker und den theoretischen Physiker stellt der vorliegende Band ein unentbehrliches und viel zeitraubendes Suchen ersparendes Hilfsmittel dar. Die sicherlich sehr mühevolle Arbeit, die bei der Zusammenstellung des Formelmaterials von den Sachbearbeitern aufgewendet werden mußte, verdient höchste Anerkennung.
Reviewer: H. Buchholz

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