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Esistenza e rappresentazione di funzioni analitiche, le quali, su una curva di Jordan, si riducono a una funzione assegnata. (Italian) Zbl 0051.30902


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[1] A proposito del prolungamento delle serie diTaylor seriveJ. Hadamard inLa série de Taylor et son prolongement analytique, Paris, 1901, p. 11: « Nous sommes donc en présence de deux problèmes inséparables et que nous traiterons simultanément: 1^o Calculer la fonction en un point quelconque 2^o Déterminer les points singuliers ». Evidentemente il 2^o problema elencato daHadamard (déterminer les points singuliers) equivale al problema di esistenza, in quanto consiste nella ricerca del campo di esistenza della funzione prolungata. Il 1^o problema (calculer ...) è evidentemente il problema di determinazione.
[2] All’istituzione dei metodi di prolungamento analitico che vengono qui esposti l’autore è stato condotto dallo studio di alcuni problemi di determinazione relativi ai sistemi isici lineari e dal proposito di risolverli in termini adatti per il calcolo numerico. Un’applicazione del metodo di rappresentazione esposto nel Cap. III, se pur limitatamente a problemi matematici di interesse fisico e tecnico, è stata già illustrata dall’autore in nna conferenzaProblemi attuali nella teoria dei sistemi fisici lineari, tenuta il 21 maggio 1949 presso l’Istituto di Fisica dell’Università di Padova, riassunta in « L’Elettrotecnica », 1950, XXXVII, p. 48 e in una notaLa continuazione analitica delle funzioni associate ai sistemi fisici lineari, « Il Nuovo Cimento », 1949, VI, p. 531. Le formule risolutive che vengono stabilite al Cap. III della presente memoria si prestano pure all’istituzione di metodi per la previsione della misura di grandezze fisiche. come è stato illustrato dall’autore nella communicazioneMetodi per misure indirette di risposta, tenuta alla LVI Riunione annuale dell’A. E. I., Bologna, 17 settembre 1950, e pubblicata in « L’Elettrotecnica », 1951, XXXVIII, p. 24.
[3] I. I. Privaloff,L’integrale di Cauchy (in russo), Saratoff, 1919, pp. 1-96. Nella recensione di tale lavoro apparsa in « Jahrb. ü. d. Fort. d. Math. », Band 47, Jahrgang 1919-1920, si attribuisce il risultato sopra riportato pure a F. eM. Riesz. Purtroppo non è stato possibile rintracciare lo studio deiRiesz. Presumibilmente trattasi della memoriaÜber die Randwerte einer analytischen Funktion, da essi presentata al IV Congresso dei Matematici scandinavi, 1916, pp. 27-44.
[4] Zin, G., Contributo alla geometria infinitesimale diretta delle curve piane, Ann. di Mat. pur. e app., 34, 4, 41-53 (1953) · Zbl 0051.13401
[5] Il teorema secondo cui la rappresentazione conforme dell’interno di una curva continua, semplice e chiusa nell’interno di una circonferenza genera una corrispondenza biunivoca e bicontinua fra i domini corrispondenti è stato enunciato come probabile daW. F. Osgood, nel suo articolo dell’ « Enzyclopädie der Mathematischen Wissenschaften », II,b 1, n. 19, p. 56, datato agosto 1901 ed è stato dimostrato per la prima volta daC. Carathéodory (« Math. Ann. », t. 73, 1913, p. 305-320) e quasi contemporaneamente daOsgood eTaylor (« Trans. A. M. S. », t. 14, 1913, p. 277-298). In seguito varie altre dimostrazioni sono state date, per la cui bibliografia si rimanda aC. Gattegno eA. Ostrowski,Représentation conforme à la frontière; domaines généraux, Fascicule CIX del « Mémorial des Sciences Mathématiques », 1949, pp. 27 e 28.
[6] Picone, M., Appunti di analisi superiore, I, 164-171 (1946)
[7] Nel presente paragrafo si fa ricorso alla teoria della sommabilità delle serie diLegendre mediante il procedimento delle medie diCesaro e si utilizza il seguente risultato: Se una funzione della variabile realex è continua nell’intervallo chiuso (−1, 1), la relativa serie diLegendre è ivi sommabile (C, 1), ed uniformemente. Tale proprietà costituisce un caso particolare di una proprietà più generale di cui godono le funzioni sferiche diLaplace. Essa è dovuta alGronwall, ma la si trova stabilita, con notevole semplificazione di procedimento, in una successiva memoria delFejer,Über die Summabilität der Laplaceschen Reihe durch arithmetische Mittel, « Math. Zeitschr. », 24, (1925), pp. 267-284. L’argomento è pure trattato inE. W. Hobson,The Theory of Spherical and Ellipsoidal Harmonics, Cambridge, 1931, pp. 347-359 e inG. Sansone, op. cit., pp. 300-313.
[8] M. Picone, op. cit., p. 167 oppureG. Sansone, op. cit., p. 202.
[9] Vedasi ad. es.G. Sansone, op. cit., p. 216.
[10] Per la proprietà di cui qui si fa uso, relativa all’inversione dei simboli lim e ∝, dovuta, come è noto, aLebesgue, cfr., per esempio,C. Carathéodory,Reelle Funktionen, (Leipzig, 1918), p. 444. Essa discende anche dai teoremi I di pag. 194 e III di pag. 189 dati nelleLezioni sulla teoria moderna dell’integrazione, diM. Picond e.T. Viola, Torino, 1952.
[11] Come è ben noto, a parte le condizioni di analiticità rispetto az, le proprietà dellek_n necessarie allo scopo sono state studiate daDu Bois Reymond, Dini, Jordan e, nel modo più approfondito, daLebesgue (« Annales Fac. Sciences de Toulouse », 1909).
[12] Alla condizione che leh_n(t) siano uniformemente limitate può sostituirsi quella più generale che leh_n(t) siano in modulo maggiorate da una stessa funzione integrabile in −1≤t≤1 secondoLebesgue. Per tale condizione, già usata al § 5, Cap. II, cfr. nota (18).
[13] Tonelli, L., Fondamenti di calcolo delle variazioni, I, 158-158 (1921)
[14] Sansone, G., Fondamenti di calcolo delle variazioni, I, 429-440 (1921)
[15] Picone, M., Appunti di analisi superiore, I, 362-363 (1946)
[16] Whittaker eWatson,A course of modern Analysis, 1943, « Amer. Edit. », p. 322.
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