Geometry of moment spaces. (English) Zbl 0052.18501

Karlin, S.; Shapley, L. S.

Mem. Am. Math. Soc. 12, 93 p. (1953).

Die Theorie der Verteilungsfunktionen und ihrer Momente sowie der zugehörigen Orthogonalpolynome wird hier auf dem Weg über die konvexen Körper entwickelt. Einleitend werden die einschlägigen Sätze über konvexe Körper – meist mit Beweisen – zusammengestellt; die Dimensionscharaktere der Randpunkte und die Dualität werden besonders beachtet. Der \(n\)-dimensionale Momentenraum \(D^n\) ist die konvexe Hülle des Einheitsbogens \((0\leqq t\leqq 1)\) der Normkurve \(x_i=t^i\) (\(i=1,\dots ,n\)); dual dazu ist der Polynomraum \(P^n\) der in \((0,1)\) nicht negativen, durch \(\int_0^1 P(t)\mathrm dt=1\) normierten Polynome bis zum Grade \(n\). Beide konvexen Körper werden mit den vorher bereitgestellten Mitteln genau untersucht. Ein hübsches Ergebnis ist: Jedes nicht “extreme” (insbesondere jedes innere) Polynom aus \(P^n\) läßt genau eine Darstellung
\[ \begin{alignedat}{3} \alpha \prod_{j=1}^m &(t-t_{2j-1})^2 &&+ \beta t (1-t) \prod_{j=1}^{m-1} (t-t_{2j})^2\qquad && (n=2m),\\ \alpha t \prod_{j=1}^m &(t-t_{2j})^2 &&+ \beta \phantom{t} (1-t) \prod_{j=1}^{m} (t-t_{2j-1})^2 && (n=2m+1)\end{alignedat} \] mit \(\alpha>0\), \(\beta>0\), \(0\leqq t_1\leqq \dots \leqq t_{n-1}\leqq 1\) zu. Ferner findet man die Parameterdarstellung von \(D^n\), die bei \(n=2\) und \(n=3\) besagt, dass die Sehnen durch einen Endpunkt des Einheitsbogens bzw. die Sehnen des Einheitsbogens überhaupt \(D^n\) einfach bedecken. Sie erlaubt es, den Inhalt von \(D^n\) zu \(\prod_1^n \frac{\Gamma (k)^2}{\Gamma (2k)}\) zu berechnen. Das Schmiegsimplex \(S^n\) des Einheitsbogens und sein duales Gegenstück werden eingeführt und ihre bemerkenswerten Beziehungen zu den Körpern \(D^m\) und \(P^m\) \((m=n \text{ oder }\neq n)\) erörtert. Die Zugehörigkeit eines Punktes zu \(D^n\) wird durch Determinantenungleichungen ausgedrückt, die den semidefiniten Charakter quadratischer Formen aussagen: die bekannten Bedingungen dafür, dass eine Zahlenfolge die Momentenfolge einer Verteilungsfunktion ist. Eine solche Verteilungsfunktion wird explizit dargestellt. Dabei benutzte Determinantenausdrücke liefern auch die zur Verteilungsfunktion gehörigen Orthogonalpolynome und Aussagen über diese. Schließlich wird die durch \(t \rightarrow 1-t\) gegebene Symmetrie des Einheitsbogens in ihrer Auswirkung auf die Punkte des Momentenkörpers \(D^n\) untersucht.

Reviewer: H. Kneser

Keywords:

metric geometry, convex geometry, integral geometry