×

On some boundary properties of holomorphic functions defined by certain products in the unit circle. (Sur quelques propriétés frontières des fonctions holomorphes définies par certains produits dans le cercle-unité.) (French) Zbl 0053.23801

Anknüpfend an Arbeiten verschiedener Autoren, insbesondere an P.Fatou [Bull. Soc. Math. France 48, 208-314 (1920)] und N.Lusin-J.Priwaloff [Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., III. Sér. 42, 143-191 (1925)] werden in der vorliegenden Arbeit auf einheitliche Weise teils bekannte, teils neue Ergebnisse über das Randverhalten im Einheitskreis regulärer Funktionen gewonnen. Durch direkte und elementare Methoden wird gezeigt, daß das Produkt \[ \prod_{j=1}^\infty \left\{1-\left({z \over 1-1/n_j }\right)^{n_j} \right\}\tag{1} \] bei geeigneter Wahl der positiven ganzen Zahlen \(n_j\) mit \(n_j \to \infty\). Beispiele in \(|z| < 1\) regulärer Funktionen \(f(z)\) liefert, die die folgenden Eigenschaften aufweisen:
(1) In einem aus \(|z| < 1\) durch Entfernung abzählbar vieler, getrennt liegender Kreisscheiben entstehenden Gebiet gilt \(\lim_{|z| \to 1} |f(z)| = \infty\) gleichmäßig in \(z\).
(2) Es gilt \(\lim_{r \to 1} |f(r e^{i\theta})| = \infty\) für alle \(\theta\) aus \(0\leq \theta < 2\pi\), ausgenommen eine Menge von \(\theta\)-Werten vom Maß 0.
(3) Es existiert eine Folge von Kreisen \(|z| = \varrho_k\), \(0 < \varrho_k < 1\), \(\varrho \to 1\), auf denen \(|f(z)|\) gleichmäßig gegen \(\infty\) geht.
(4) Es existieren \(2^{\aleph_0}\) Spiralen in \(|z| < 1\), die sich asymptotisch dem Einheitskreis nähern und längs denen \(\lim_{|z| \to 1} |f(z)| = \infty\) gilt.
(5) Es strebt \(\max_{|z| = r} |f(z)|\) für \(r \to 1\) vorgegeben langsam gegen \(\infty\).
(6) Es gilt \(\lim_{|z| \to 1} \{|f(z)|+|f'(z)|\} = \infty\) gleichmäßig in \(z\).
Durch passende Modifikation des Produktes (1) werden ferner Beispiele in \(|z| < \) regulärer Funktion \(f(z)\) mit den folgenden Eigenschaften konstruiert:
(7) Auf einer Folge von Kreisen \(|z| = \varrho_k\), \(0<\varrho_k < 1\), \(\varrho \to 1\) strebt \(|f(z)|\) gleichmäßig gegen \(\infty\) während \(f(z)\) nirgends einen radialen Limes hat.
(8) \(\lim_{|z| \to 1} (1-z) f(z)\) ist auf fast allen Radien \(\infty\), auf dem Radius \(\arg z=0\) dagegen 0.
(9) \(f(z)\) ist in \(|z| < 1\) nicht beschränkt und besitzt keinen radialen Limes, strebt jedoch für \(z \to 1\) längs des Kreises \(|z+i| = \sqrt 2\) gegen 0.
Einige der genannten Ergebnisse sind, wie die Verff. nachträglich bemerkt haben, auf ähnlichem Wege bereits von J.Wolff [Nederl. Akad. Wet., Proc. 31, 718-720 (1928) und Bull. Soc. Math. France 56, 167-173 (1928)] gewonnen worden.
Reviewer: F.Lösch

MSC:

30D30 Meromorphic functions of one complex variable (general theory)
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Numdam

References:

[1] H. CARTAN , Sur les variétés définies par une relation entière (fin) (Bull. Sc. Math., (2), t. 55, 1931 , p. 47-64). Zbl 0001.21601 | JFM 57.0389.02 · Zbl 0001.21601
[2] E. F. COLLINGWOOD et M. L. CARTWRIGHT , Boundary theorems for a function meromorphic in the unit circle (Acta Mathematica, t. 87, 1952 , p. 83-146). MR 14,260e | Zbl 0046.08402 · Zbl 0046.08402
[3] P. FATOU , Sur les équations fonctionnelles (troisième Mémoire) (Bull. Soc. Math. Fr., t. 48, 1920 , p. 208-314). Numdam | JFM 47.0921.02 · JFM 47.0921.02
[4] E. KAMKE , Theory of Sets , New-York, 1950 . Zbl 0037.03501 · Zbl 0037.03501
[5] N. LUSIN et J. PRIWALOFF , Sur l’unicité et la multiplicité des fonctions analytiques (Ann. scient. Éc. Norm. Sup., (3), t. 42, 1925 , p. 143-191). Numdam | JFM 51.0245.01 · JFM 51.0245.01
[6] P. MONTEL , Leçons sur les séries de polynomes à une variable complexe , Paris, 1910 . JFM 41.0277.01 · JFM 41.0277.01
[7] J. J. PRIWALOFF , Propriétés frontières des fonctions analytiques (en russe) , 2e édition, Moscou-Léningrad, 1950 .
[8] G. VALIRON , Sur les singularités des fonctions holomorphes dans un cercle (C. R. Acad. Sc., t. 198, 1934 , p. 2065-2067). Zbl 0009.17202 | JFM 60.0257.01 · Zbl 0009.17202
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. It attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming the completeness or perfect precision of the matching.