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\(C^1\) isometric imbeddings. (English) Zbl 0058.37703
Die Realisierung einer Einbettung einer gegebenen Riemannschen Mannigfaltigkeit in einen euklidischen Raum hängt in hohem Maße davon ab, eine wie hohe Regularitätsklasse der eingebetteten Mannigfaltigkeit verlangt wird. Es zeigt sich, daß im Falle, daß nur \(C^1\)-Einbettung (d.h. von der Klasse \(C^1\)) verlangt wird, die Dimension \(m\) des euklidischen Raumes, in welchen die Einbettung erfolgt, bedeutend herabgesetzt werden kann im Vergleich zum allgemeinen Fall. Der Verf. behandelt den Fall, daß die die eingeprägte Metrik der Riemannschen Mannigfaltigkeit von der Klasse \(C^0\) ist, und versucht diese Mannigfaltigkeit in einem euklidischen Raum \(E_m\) einzubetten bzw. “einzutauchen” (imbedding bzw. immersion). Der letztgenannte Begriff ist gemeint im Sinne von H. Whitney [ibid. 37, 645–680 (1936; Zbl 0015.32001)]. Negative Resultate bezüglich der Einbettung bei gegebener Klasse \(C^k\) sind jüngst von Tompkins und Chern-Kupier angegeben. Die verwendete Methode beruht auf den sukzessiven Perturbationen der erzielten Einbettung, und die unendliche Folge der Einbettungen führt schließlich zu der gewünschten Einbettung. Der Verf. bedient sich einer Operation der “short imbedding”, bei welcher die Abstände verkürzt werden. Das Hauptergebnis der Arbeit ist in den folgenden zwei Sätzen enthalten:
1.
Jede geschlossene \(V_n\) besitzt eine isometrische \(C^1\)-Einbettung in einem \(E_{2n}\).
2.
Jede \(V_n\) besitzt ein \(C^1\)-isometrisches Eintauchen in einen \(E_{2n}\) und eine isometrische \(C^1\)-Einbettung in einen \(E_{2n+1}\).
Reviewer: S. Gotab

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