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On the group of units and class number of real abelian number fields. (Über die Einheitengruppe und Klassenzahl reeller Abelscher Zahlkörper.) (German) Zbl 0059.03501

In reell quadratischen Zahlkörpern besteht zwischen der Grundeinheit \(E\) und. der Kreiseinheit \(H\) die Beziehung (1) \(E^h = H\), wobei \(h\) die Klassenzahl ist. Der Verf. stellt sich die Aufgabe, ein analoges Ergebnis für beliebige absolut abelsche reelle Körper \(K\) abzuleiten. Dabei kann er sich auf die von H. Hasse [Über die Klassenzahl abelscher Zahlkörper. Berlin: Akademie-Verlag (1952; Zbl 0046.26003)] geleistete Vorarbeit stützen. Man wird eine Verallgemeinerung der Formel (1) in der Gestalt \(c \cdot h_K = (\mathbf E_K:\mathbf H)\) suchen, wobei \(\mathbf E_K\) die volle Einheitengruppe, \(\mathbf H\) die Kreiseinheitengruppe und \(c\) ein passender Zahlfaktor ist. Dazu hat man das Zählerprodukt der analytischen Klassenzahlformel in einen Regulator umzuformen. Die Durchführung dieser Umformung gelang H. Hasse (loc. cit.) nur in dem Fall, daß \(K\) zyklisch oder daß in \(K\) alle Diskriminantenteiler unzerlegt sind. Das wesentliche Ergebnis dieser Arbeit besteht in der Durchführung der angegebenen Umformung im allgemeinen Fall.
Im ersten Teil der Arbeit werden bekannte Ergebnisse über die algebraische und arithmetische Struktur des Gruppenringes einer endlichen abelschen Gruppe zusammengestellt.
Im zweiten Teil wird die Einheitengruppe als Operatorengruppe mit dem ganzzahligen Gruppenring der Galoisschen Gruppe als Operatorenbereich untersucht. Dabei spielen die Einheiten des zur Charakterabteilung \(\bar\chi\) gehörenden zyklischen Körpers \(K_{\bar\chi}\), deren Normen in Bezug auf alle echten Teilkörper von \(K_{\bar\chi}\) gleich 1 sind, die Hauptrolle. Sie werden vom Verfasser (eigentliche) \(\bar\chi\)-Relativeinheiten genannt. Mit ihrer Hilfe läßt sich die Struktur von \(\mathbf E_K\) in wesentlichen durch zwei Bestimmungsstücke beschreiben. Erstens durch das über alle in der Charaktergruppe \(X\) von \(K\) enthaltenen Abteilungen \(\bar\chi\) erstreckte direkte Produkt \(\mathbf E^K\) der \(\bar\chi\) Relativeinheitengruppe und zweitens durch die Faktorgruppe \(\mathbf E_K/\mathbf E^K\), deren Ordnung \(Q_K^+\) endlich ist. Die Charaktere von zweier Potenzordnungen nehmen eine Sonderstellung ein. Für sie ist die Einführung sogenannter uneigentlicher \(\bar\chi\)-Relativeinheiten notwendig, die zusätzliche Schwierigkeiten bereiten.
Im dritten Teil wird eine Untergruppe \(\mathbf H^K\) der Kreiseinheitengruppe konstruiert und Arithmetische Darstellung \(Q_{\mathfrak G} h_K = (\mathbf E_K : \mathbf H^K)\) der Klassenzahl \(h_K\) von \(K\) abgeleitet. Dabei hängt \(Q_{\mathfrak G}\) nur vom Typus der Galoisgruppe \(\mathfrak G\) von \(K/P\) ab. \(Q_{\mathfrak G}\cdot h_K\) läßt sich in ein Produkt \(Q_K^+ \prod_{\bar\chi} h_{\bar\chi}\) zerlegen, dessen ganzrationale Faktoren \(h_{\bar\chi}\) nur von den Abteilungen \(\bar\chi\) der Charaktergruppe \(X\) von \(K\) abhängen. Daraus leitet der Verf. die Klassenzahlrelationen von S. Kuroda [Nagoya Math. J. 1, 1–10 (1950; Zbl 0037.16101)] und R. Brauer [Math. Nachr. 4, 158–174 (1951; Zbl 0042.03801)] ab. Zum Schluß wird gezeigt, daß es reelle abelsche Körper \(K\) gibt, für die keine Untergruppe \(H^*\) der Kreiseinheitengruppe mit \(h_K = (\mathbf E_K:\mathbf H^*)\) existiert.
Reviewer: Helmut Koch

MSC:

11R20 Other abelian and metabelian extensions
11R27 Units and factorization
11R29 Class numbers, class groups, discriminants
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