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Projective planes and related topics. Lectures. (English) Zbl 0059.13901

Pasadena: California Institute of Technology. vi, 77 p. (1954).
Diese fünf, im April 1954 am California Institute of Technology gehaltenen Vorlesungen geben nicht nur eine ausgezeichnete Einführung in die Theorie der projektiven Ebenen, sondern zeigen auch die Verbindungen dieser Theorie zu verschiedenen anderen Teilgebieten der Mathematik auf. Beweise sind in vielen Fällen durch Verweise auf die Originalarbeiten ersetzt.
Lecture I: Projective planes.
Nach der Definition des projektiven Raumes (beliebiger Dimension) und der projektiven Ebene wird der Satz von Desargues bei Dimension \(> 2\) bewiesen. Kurz werden die freien Erweiterungen von Teilebenen (partial planes, auch: configurations) behandelt. Der letzte Abschnitt gibt die auf den Verf. zurückgehende Einführung von Koordinaten in beliebigen projektiven Ebenen (dabei steht in Z. 7 versehentlich \(Y = X\) statt \(y = x)\).
Lecture II : Topics in lattice theory.
Nach dem Beweis, daß die Unterräume eines projektiven Raumes einen relativ komplementären modularen Verband bilden, wird die Frage nach der Einbettung eines modularen Verbandes in einen relativ komplementären modularen Verband behandelt, im Anschluß an die Bemerkung, daß eine projektive Ebene genau dann in einen projektiven Raum höherer Dimension eingebettet werden kann, wenn sie desarguessch ist. Ausführlicher wird die Darstellung eines Verbandes als Unterverband des Verbandes der Äquivalenzrelationen auf einer Menge behandelt. Jeder Verband besitzt eine derartige Darstellung, bei der zwischen Vereinigung \(R\cup S\) und Produkt \(RS\) zweier Relationen \(R\), \(S\) die Beziehung \(R\cup S = RSRS = SRSR\) besteht. Gilt sogar die schärfere Beziehung \(R\cup S = RSR = SRS\), so muß der Verband modular sein. Daß schließlich (noch schärfer) \(R\cup S = RS = SR\) gilt, bedeutet für den Verband der Unterräume einer projektiven Ebene dasselbe wie der Satz von Desargues und auch dasselbe wie: Der Verband ist isomorph zu einem Verband von Untergruppen einer abelschen Gruppe.
Lecture III : Topics in the theory of rings.
Die Gültigkeit des kleinen Satzes von Desargues für drei verschiedene, nichtkollineare Achsen (und damit für jede Achse) besagt in einer projektiven Ebene, daß es sich um eine Ebene über einem Alternativkörper handelt. Ohne Beweis wird noch angegeben, daß man mit der Gültigkeit für zwei verschiedene Achsen auskommt. Der Satz von Desargues wird als gleichwertig mit der Darstellbarkeit als Ebene über einem Schiefkörper nachgewiesen. Auf 13 Seiten werden dann die Alternativkörper verhältnismäßig ausführlich behandelt und dabei als Hauptsatz bewiesen: Jeder Alternativkörper ist ein Schiefkörper oder eine Cayley-Algebra über seinem Zentrum.
Lecture IV: Topics in group theory.
Die Gruppe der Projektivitäten einer Geraden auf sich ist (in einer projektiven Ebene) 3-fach transitiv; es wird in diesem Zusammenhang noch gezeigt, daß der sogenannte Fundamentalsatz der projektiven Geometrie den Satz von Pappos nach sich zieht. Gewisse 2-fach transitive Permutationsgruppen liefern die Ebenen über Fastkörpern; hierzu wird die Zassenhaussche Bestimmung der endlichen Fastkörper in ihrem Ergebnis beschrieben. An 4-fach transitiven Gruppen, in denen jede Untergruppe, die 4 Elemente festläßt, endlich und von ungerader Ordnung ist, gibt es (nach einer vom Verf. stammenden Verallgemeinerung eines Satzes von C. Jordan) nur die symmetrischen Gruppen \(S_4\), \(S_5\), die alternierenden Gruppen \(A_6\), \(A_7\) und die Mathieu-Gruppe \(M_{11}\).
Lecture V: Topics in matrices and the theory of numbers.
Unter einem Blockplan (block design) versteht man eine Menge von \(b\) Teilmengen zu je \(k\) Elementen aus einer Menge \(V\) von \(v\) Elementen, so daß jedes Element von \(V\) in genau \(r\) Teilmengen vorkommt und je zwei verschiedene Elemente von \(V\) in genau 2 Teilmengen auftreten. Der Blockplan wird im Fall \(b = v\) (dann auch \(k = r)\) symmetrisch genannt. Die endlichen projektiven Ebenen sind gerade die symmetrischen Blockpläne mit \(\lambda = 1\) und \(k\ge 3\). Nach Numerierung der Elemente von \(V\) und der \(b\) Teilmengen versteht man unter der Inzidenzmatrix des Blockplans diejenige Matrix \(A\), bei der 1 oder 0 an der Stelle \((i, j)\) steht, je nachdem das \(i\)-te Element in der \(j\)-ten Teilmenge liegt oder nicht. Betrachtung der zur Matrix \(AA^T\) gehörigen quadratischen Form zeigt:
Es gibt keine projektive Ebene mit genau \(n+1\) Punkten auf jeder Geraden, wenn \(n \equiv1\) oder \(2 \bmod 4\) und \(n\) keine Summe von zwei Quadraten ist.
Ein symmetrischer Blockplan ist genau dann zyklisch (d. h. es gibt einen Automorphismus des Blockplans, der eine auf \(V\) transitive Gruppe erzeugt), wenn er sich so darstellen läßt:
\(V = \{0, 1, \ldots, v-1\}\); \(a_1, \ldots, a_k\) aus \(V\) derart, daß zu \(d\not\equiv 0 \bmod v\) genau \(\lambda\) Paare \((i, j)\) mit \(a_i - a_j \equiv \bmod v\) vorhanden sind; die \(\{a_1 + i, \ldots, a_k + i\}\) \((i\in V)\) sind dann die \(v\) Teilmengen. Eine Menge \(\{a_1, \ldots, a_k\}\) mit diesen Eigenschaften wird als Differenzmenge mod \(v\) bezeichnet.
Liefert die Multiplikation der Zahlen aus \(V\) mit \(t\bmod v\) einen Automorphismus des Blockplans (und damit im Fall \(\lambda = 1\), \(k\ge 3\) eine Kollineation der projektiven Ebene), so heißt \(t\) Multiplikator der Differenzmenge. Jeder Primteiler \(>\lambda\) von \(k-\lambda\), der nicht in \(v\) aufgeht, ist Multiplikator. Die Multiplikatoren erleichtern das Aufstellen der Differenzmengen, wie zwei Beispiele zeigen.
Zum Schluß wird eine Methode von Connor zum Nachweis der Nichtexistenz von Blockplänen mit gewissen Werten \(v, b, r, k, \lambda\) dargestellt.
Reviewer: G. Pickert

MSC:

51-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to geometry
51-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to geometry
51A35 Non-Desarguesian affine and projective planes
51E15 Finite affine and projective planes (geometric aspects)
06C20 Complemented modular lattices, continuous geometries
17D05 Alternative rings
12K05 Near-fields
20B99 Permutation groups
05B05 Combinatorial aspects of block designs
05B20 Combinatorial aspects of matrices (incidence, Hadamard, etc.)
05B10 Combinatorial aspects of difference sets (number-theoretic, group-theoretic, etc.)