On a problem of partitions. (English) Zbl 0061.06801

Brauer, Alfred

Am. J. Math. 64, 299-312 (1942).

Es werden Funktionen \(F(a_1,\dots, a_k)\) ermittelt, die die Eigenschaft haben, daß die diophantische Gleichung \(n=a_1x_1+\dots +a_kx_k\) für alle \(n>F\) Lösungen hat, wenn \(0<a_1\leq a_2\leq \dots \leq a_k\) und \((a_1, a_2, \dots, a_k)=1\) ist. So ist \(F(a_1,a_2)=a_1a_2\) die kleinste Schranke für \(k=2\). Weitere geeignete Funktionen sind \(F_1=a_1a_k+a_2+\dots+a_{k-1}\) und \(F_2=a_2d_1/d_2+a_3d_2/d_3+\dots+a_kd_{k-1}/d_k\), wobei \(d_\kappa=(a_1,\dots,a_k)\) für \(1\leq\kappa\leq k\). Es wird untersucht, wann \(F_1\) bzw. \(F_2\) kleinstmöglich sind.

Reviewer: N. Hofreiter (Wien)

MSC:

11D04

Linear Diophantine equations

Keywords:

linear Diophantine equation; positive solutions