The measure theoretic approach to density. (English) Zbl 0061.07503

Buck, R. Creighton

Am. J. Math. 68, 560-580 (1946).

Seien \(\mathfrak A, \mathfrak B, \ldots\) Mengen natürlicher Zahlen, \(A(n), B(n), \ldots\) ihre Anzahlfunktionen (d. h. die Anzahlen der Zahlen \(a\le n,\ a\in\mathfrak A\) etc.). Bekanntlich heißt \(\displaystyle\delta_*(\mathfrak A) = \lim_{n\to\infty} \frac{A(n)}{n}\), falls vorhanden, die natürliche Dichte von \(\mathfrak A\). Verf. führt eine Dichtentheorie für die Teilmengen der Menge \(\mathfrak Z\) aller natürlicher Zahlen in gewisser Analogie zur Carathéodoryschen Maßtheorie durch. Ausgangspunkt sind die arithmetischen Folgen \(ax + b (\ge 0)\) (für diese ist ja \(\delta_*(\mathfrak A) = \tfrac1a\)).
Als nächstes wird die Klasse \(D_0\) aller derjenigen \(\mathfrak A\subseteq\mathfrak Z\) gebildet, die eine endliche Vereinigung arithmetischer Folgen sind unter Zulassung endlich vieler Abänderungen. – Neuerdings nennt man die zu \(D_0\) gehörigen Mengen rational. – Mit \(\mathfrak A\) gehört dann auch das Komplement \(\mathfrak A'\) zu \(D_0\), mit \(\mathfrak A\) und \(\mathfrak B\) sowohl \(\mathfrak A \cup \mathfrak B\) als auch \(\mathfrak A \cap \mathfrak B\), so daß \(D_0\) ein komplementärer Mengenverband ist. Die Funktion \(\delta_*\) existiert auf \(D_0\), sie ist monoton wachsend, d. h. aus \(\mathfrak A \subseteq \mathfrak B\) folgt \(\delta_*(\mathfrak A) \le \delta_*(\mathfrak B)\), ferner endlich additiv, d. h. aus \(\mathfrak A \cap \mathfrak B = 0\) folgt \(\delta_*(\mathfrak A \cup \mathfrak B) = \delta_*(\mathfrak A) + \delta_*(\mathfrak B)\), und gegenüber endlichen Abänderungen invariant.
Für beliebige Teilmengen \(\mathfrak S \subseteq \mathfrak Z\) wird nunmehr ein äußeres Maß \(\mu(\mathfrak S)\) durch \[ \mu(\mathfrak S) = \inf_{\mathfrak S\subseteq \mathfrak A\subseteq \mathfrak Z} \delta_*(\mathfrak A), \quad \mathfrak A\in\mathfrak D_0, \] erklärt. Für \(\mathfrak A\in D_0\) ist \(\mu(\mathfrak A) = \delta_*(\mathfrak A)\); ferner ist \(\mu\) monoton wachsend, und es gilt \(\mu(\mathfrak S_1 \cup \mathfrak S_2) \le \mu(\mathfrak S_1) + \mu(\mathfrak S_2)\).
Als Erweiterung von \(D_0\) im Carathéodoryschen Sinn wird nun bezüglich \(\mu\) die Klasse \(D_\mu\) aller \(\mathfrak S \subseteq \mathfrak Z\) erklärt, für die \(\mu(\mathfrak S) + \mu(\mathfrak S') = 1\) ist, oder, was dasselbe bedeutet, für die es zu jedem \(\varepsilon > 0\) Mengen \(\mathfrak A, \mathfrak B\) in \(D_0\) gibt, so daß \(\mathfrak A \subseteq \mathfrak S\subseteq \mathfrak B\) und \(\delta_*(\mathfrak B) - \delta_*(\mathfrak A) = \delta_*(\mathfrak B - \mathfrak A)<\varepsilon\) ist. Auch \(D_\mu\) bildet einen komplementären Mengenverband, und es ist \[ \mu(\mathfrak S_1 \cup \mathfrak S_2) + \mu(\mathfrak S_1 \cap \mathfrak S_2) = \mu(\mathfrak S_1) + \mu(\mathfrak S_2)\quad\text{für alle } \mathfrak S_1, \mathfrak S_2\text{ aus }D_\mu. \] Die Mengen der Klasse nennt man neuerdings pseudorational. Als Beispiel wird unter anderem die Menge der Quadratzahlen hervorgehoben. Weiter wird gezeigt, daß es zu jeder reellen Zahl \(\rho\) mit \(0\le \rho\le 1\) pseudorationale Mengen \(\mathfrak S\) mit \(\mu(\mathfrak S) = \rho\) gibt, so daß \(D_0\subset D_\mu\) ist.
Ferner studiert Verf. noch die Quasiprogressionen \([\alpha x + \beta]\) mit reellen \(\alpha, \beta\), insbesondere irrationalem \(\alpha\). Im letzteren Fall ist das äußere Maß eins, das innere null.
Wählt man an Stelle von \(D_0\) im obigen Erweiterungsverfahren die Klasse \(D\) aller Mengen, für die \(\delta_*\) existiert (es ist dann \(D_\mu\subset D)\), so erhält man nur \(D\) selbst wieder, \(D\) (und auch schon \(D_\mu\)) ist in diesem Sinne abgeschlossen.
Es folgen einige Betrachtungen, in denen Modifikationen von \(\delta_*\) zugrunde gelegt werden.
Schließlich wird noch die Abbildung \(\mathfrak A \to \Gamma(\mathfrak A) = \sum_{n\in\mathfrak A} 2^{-n}\), \(n\ge 1\), definiert, so daß jeder Menge eine reelle Zahl des Intervalls \(\langle 0, 1\rangle\) entspricht. Es wird die Frage aufgeworfen, ob die Punktmenge \(P\), die aus den Bildern aller pseudorationalen Mengen besteht, meßbar (z. B. im Lebesgueschen Sinn) ist. Diese Frage ist inzwischen durch B. Volkmann (s. [J. Reine Angew. Math. 190, 199–230 (1952; Zbl 0048.03401)]) positiv entschieden worden: \(P\) hat das Lebesguesche Maß null.

Reviewer: H. H. Ostmann

MSC:

11B05	Density, gaps, topology
28A99	Classical measure theory

Keywords:

measures; measurability of special sets; number-theoretic methods; quasi-progressions; dyadic mapping

Citations:

Zbl 0048.03401