Les formes différentielles harmoniques. (French) Zbl 0063.00378

Bidal, Pierre; de Rham, Georges

Comment. Math. Helv. 19, 1-49 (1946).

From the introduction: Ce travail a été entrepris dans le but de démontrer, d’une manière à la fois simple et rigoureuse, le beau théorème de W. V. D. Hodge, d’après lequel le \(p\)-ième nombre de Betti d’un espace de Riemann clos et orientable est égal au nombre de formes différentielles harmoniques de degré \(p\) linéairement indépendantes.
Pour raison de clarté, la théorie des formes différentielles harmoniques a été reprise dès le début et se trouve exposée au chapitre I. C’est dire que la connaissance d’autres travaux déjà publiés sur ce sujet n’est pas exigée du lecteur. Nous espérons y avoir apporté d’appréciables simplifications. Grâce à l’emploi d’un opérateur différentiel \(\Delta\) (défini au [É. Goursat, Cours d’analyse mathématique. Tome III. Troisième édition. Paris: Gauthiers-Villars (1923; JFM 48.0491.05)]), applicable aux formes différentielles, qui généralise les opérateurs de Laplace et de Beltrami, les formes différentielles harmoniques sont définies simplement comme les formes \(\varphi\) qui satisfont à l’équation \(\Delta\varphi = 0\). Le théorème de décomposition [W. V. D. Hodge, Proc. Lond. Math. Soc., II. Ser. 36, 257–303 (1933; Zbl 0008.02203, JFM 59.1091.01)], qui nous paraît dominer la théorie et dont le théorème de Hodge so déduit facilement, est déduit lui-même d’un théorème d’existence relatif à l’équation \(\Delta\mu = \beta\), dont un cas particulier est contenu dans un théorème de D. Hilbert [Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen. Leipzig etc.: B. G. Teubner (1912; JFM 43.0423.01), p. 226–227], d’après lequel la condition de possibilité de cette équation est que la forme différentielle donnée \(\beta\) soit orthogonale (au sens défini au [Ch. Ehresmann, C. R. Acad. Sci., Paris 216, 628–630 (1943; Zbl 0060.41409)]) à toutes les solutions de l’équation homogène \(\Delta\varphi = 0\), c’est-à-dire à toutes les formes différentielles harmoniques du même degré.
La démonstration de ce théorème, que nous appelons le théorème \(H\), laquelle est consacrée la suite du travail, est faite par la méthode de la paramétrix de E. E. Levi [Mem. Soc. It. delle Sci. (3) 16, 3–113 (1910; JFM 41.0424.03)] et de Hilbert [loc. cit., p. 219–232]. Dans le chapitre II, après avoir défini la paramétrix, nous établissons deux formules qui jouent un rôle fondamental dans la démonstration. Bien qu’il ne soit fait appel, le plus souvent, qu’à des méthodes d’un emploi courant dans la théorie du potentiel et dans l’étude des équations aux dérivées partielles du type elliptique, nous avons pensé faire œuvre utile en ne laissant aucun point dans l’ombre. De là l’étendue relative de ce chapitre.
Dans le chapitre III, après avoir énoncé les théorèmes de Fredholm relatifs aux équations intégrales sous la forme où ils devront être utilisés, nous donnons la démonstration du théorème \(H\). Elle ne diffère pas de celle exposée par Hilbert pour le cas examiné par lui et mentionné ci-dessus, sauf quelques simplifications provenant du far que l’opérateur \(\Delta\) est autoadjoint.
Enfin, dans l’Appendice, nous revenons sur la théorie générale des équations intégrales utilisées ici, où l’inconnue est une forme différentielle ou un tenseur. Lorsque l’espace n’est pas parallélisable, ces équations ne se ramènent pas immédiatement aux systèmes d’équations intégrales envisagés par Fredholm. Nous montrons que la théorie s’applique néanmoins, et nous reprenons aussi la démonstration de la validité sans restriction du troisième théorème de Fredholm dans le cas de certains noyaux non bornés. Tout ce qui intervient dans la démonstration du théorème \(H\) nous paraît ainsi complètement établi.

MSC:

58A10	Differential forms in global analysis
58A12	de Rham theory in global analysis

Citations:

Zbl 0008.02203; JFM 59.1091.01; JFM 43.0423.01; JFM 41.0424.03; JFM 48.0491.05; Zbl 0060.41409