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Répartition (mod 1) des puissances successives des nombres réels. (French) Zbl 0063.06259
From the text: Nous appellerons répartition (mod 1) d’une suite \(\varphi_0, \varphi_1,\dots,\varphi_n,\dots\) de nombres réels une suite \(\psi_0, \psi_1,\dots,\psi_n,\dots\) obtenue en ramenant (mod 1) chaque nombre \(\varphi_n\) à un nombre \(\psi_n\) appartenant à un intervalle fixe de longueur 1. En d’autres termes, à tout \(\varphi_n\) on fait correspondre un nombre \(\psi_n\) de l’intervalle fixe \(\gamma\leq \psi_n < \gamma +1\), de sorte que \(\varphi_n-\psi_n=u_n\) soit un nombre entier.
On a déjà beaucoup étudié les répartitions (mod 1) des suites qui dépendent de façon simple de \(n\), en particulier celles où \(\varphi_n\) est un polynôme en \(n\) [voir p. e. J. F. Koksma, Diophantische Approximationen. Berlin: Julius Springer (1936; Zbl 0012.39602 et JFM 62.0173.01), p. 86–125]. Une fonction qui s’est montrée particulièrement réfractaire est la fonction exponentielle; très peu de résultats sont connus sur sa répartition (mod 1) [Thue, Koksma]. J’ai donné dans un travail antérieur [C. R. Acad. Sci., Paris 204, 312–314 (1937; Zbl 0016.05302 et JFM 63.0153.04), Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, II. Ser. 7, 205–248 (1938; Zbl 0019.15502 et JFM 64.0994.01)] un certain nombre de résultats pour cette fonction. (Ces résultats ont été retrouvés indépendamment par Vijayaraghavan.) Dans cet article je les compléterai et caractériserai une famille particulière de nombres algébriques parmi l’ensemble des nombres réels par les propriétés de la répartition (mod 1) de leurs puissances.
Théorème I. L’ensemble des nombres réels \(\alpha>1\) et \(\lambda\) tels que la répartition (mod 1) de la suite \(\varphi_n=\lambda\alpha^n\) ait un nombre fini de valeurs limites est dénombrable.
Théorème II. Soit \(\alpha\) un nombre algébrique réel supérieur à 1 et \(\lambda\) un nombre réel. La condition nécessaire et suffisante pour que la répartition (mod 1) de la suite \(\varphi_n=\lambda\alpha^n\) ait un nombre fini de valeurs limites, c’est que les deux conditions suivantes soient simultanément vérifiées :
A. \(\alpha\) est un entier algébrique dont tous les conjugués sont en module strictement inférieurs à 1 [ T. Vijayaraghavan, Proc. Camb. Philos. Soc. 37, 349–357 (1941; Zbl 0028.11301 et JFM 67.0988.02)].
B. A est un nombre algébrique et appartient au corps de \(\alpha\).
Théorème III. Soit \(\alpha\) un nombre réel supérieur à 1 et \(\lambda\) un nombre réel positif. Les conditions A et B du théorème II sont encore remplies si l’on a simultanément :
1. Le nombre des valeurs limites de la répartition (mod 1) de la suite \(\varphi_n=\lambda\alpha^n\) est fini.
2. La convergence de la répartition vers ses valeurs limites est \(o\left(\frac 1{n^k}\right)\), \(k\) étant le nombre des valeurs limites irrationnelles.

MSC:
11J71 Distribution modulo one
11J54 Small fractional parts of polynomials and generalizations
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