Ein Satz über abelsche Gruppen mit Anwendungen auf die Geometrie der Zahlen. (German) Zbl 0064.04305

Kneser, Martin

Math. Z. 61, 429-434 (1955).

Verf. macht den Kreis der Sätze um den Satz von Mann für die Geometrie der Zahlen nutzbar. So zeigt er folgenden Satz für die \(n\)-dimensionale Torusgruppe \(T\): Sind \(A,B\) zwei nichtleere Mengen aus \(T\) \((i(S)\) bedeute stets das Haarsche Maß von \(S\) in \(T\)), so ist stets \(i(A+B)\geq i(A)+i(B)\), falls \(i(A)+i(B)\leq i(T)\), und \(A+B=T\), falls \(i(A)+i(B)> i(T)\) (allgemeiner: aus \(\sum_{k=1}^n i(A_k)> i(T)\) folgt \(\sum_k A_k=T)\). Daraus folgen sofort Sätze (teilweise in schärferer und allgemeinerer Form, welche von Th. Schneider und dem Ref. (z.B. [Math. Ann. 125, 183–207 (1952; Zbl 0047.05001)]) gefunden wurden. Folgender Satz sei hervorgehoben: Ist \(A\) ein beschränkter abgeschlossener konvexer Körper, \(G\) ein Gitter mit Determinante \(d\) und enthält \(tA\) nicht mehr als \(k\) modulo \(G\) kongruente Punkte im Innern, so überdeckt für \(s\geq ([q]+\langle q\rangle^{1/n})t\) \((q=dkt^{-n}(\text{Vol}(A))^{-1}\), \(\langle q\rangle=q-[q])\) das Figurengitter zum Körper \(sA\) den \(\mathbb R^n\) lückenlos.

Reviewer: Edmund Hlawka (Wien)

MSC:

11B75	Other combinatorial number theory
20K01	Finite abelian groups
11H31	Lattice packing and covering (number-theoretic aspects)

Keywords:

geometry of numbers; figurate lattice; covering; Haar measure

Citations:

Zbl 0047.05001

References:

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[2]	Hlawka, E.: Zur Geometrie der Zahlen. Math. Z.49, 285-312 (1943). · Zbl 0028.20606
[3]	Hlawka, E.: Zur Theorie des Figurengitters. Math. Ann.125, 183-207 (1952). · Zbl 0047.05001
[4]	Referat über [3] vonJ. W. S. Cassels: Zbl. Math.47, 50 (1953).
[5]	Kneser, M.: Abschätzung der asymptotischen Dichte von Summenmengen. Math. Z.58, 459-484 (1953). · Zbl 0051.28104
[6]	Kneser, M.: Anwendung eines Satzes von Mann auf die Geometrie der Zahlen. Proc. Int. Congr. of Math. 1954 Amsterdam,2, 32.
[7]	Mann, H. B.: An addition theorem for sets of elements of abelian groups. Proc. Amer. Math. Soc.4, 423 (1953). · Zbl 0050.25703
[8]	Mann, H. B.: On products of sets of groups elements. Canad. J. Math.4, 64-66 (1952). · Zbl 0046.04204
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[10]	Scherk, P.: Convex bodies off center. Arch. d. Math.3, 303 (1952). · Zbl 0048.03203
[11]	Schneider, Th.: Über einen Hlawkaschen Satz aus der Geometrie der Zahlen. Arch. d. Math.2, 81-86 (1950). · Zbl 0035.31801