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Ein Satz über abelsche Gruppen mit Anwendungen auf die Geometrie der Zahlen. (German) Zbl 0064.04305
Verf. macht den Kreis der Sätze um den Satz von Mann für die Geometrie der Zahlen nutzbar. So zeigt er folgenden Satz für die \(n\)-dimensionale Torusgruppe \(T\): Sind \(A,B\) zwei nichtleere Mengen aus \(T\) \((i(S)\) bedeute stets das Haarsche Maß von \(S\) in \(T\)), so ist stets \(i(A+B)\geq i(A)+i(B)\), falls \(i(A)+i(B)\leq i(T)\), und \(A+B=T\), falls \(i(A)+i(B)> i(T)\) (allgemeiner: aus \(\sum_{k=1}^n i(A_k)> i(T)\) folgt \(\sum_k A_k=T)\). Daraus folgen sofort Sätze (teilweise in schärferer und allgemeinerer Form, welche von Th. Schneider und dem Ref. (z.B. [Math. Ann. 125, 183–207 (1952; Zbl 0047.05001)]) gefunden wurden. Folgender Satz sei hervorgehoben: Ist \(A\) ein beschränkter abgeschlossener konvexer Körper, \(G\) ein Gitter mit Determinante \(d\) und enthält \(tA\) nicht mehr als \(k\) modulo \(G\) kongruente Punkte im Innern, so überdeckt für \(s\geq ([q]+\langle q\rangle^{1/n})t\) \((q=dkt^{-n}(\text{Vol}(A))^{-1}\), \(\langle q\rangle=q-[q])\) das Figurengitter zum Körper \(sA\) den \(\mathbb R^n\) lückenlos.

MSC:
11B75 Other combinatorial number theory
20K01 Finite abelian groups
11H31 Lattice packing and covering (number-theoretic aspects)
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI EuDML
References:
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