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Über lokal-nilpotente Gruppen. (German) Zbl 0065.00903
Eine Gruppe \(\mathfrak G\) heißt nilpotent, wenn sie eine Zentrenreihe von endlicher Länge besitzt; \(\mathfrak G\) heißt lokal-nilpotent, wenn jede endliche Menge von Elementen \(\in\mathfrak G\) eine nilpotente Untergruppe erzeugt. Verf. gibt einen einfachen Beweis des Satzes von B. I. Plotkin: ,,Eine Gruppe \(\mathfrak G\), in der jede echte Untergruppe von ihrem Normalisator verschieden ist, ist lokal-nilpotent” [Dokl. Akad. Nauk SSSR, n. Ser. 76, 639–641 (1951; Zbl 0043.02201)]. Der Beweis wird geführt mit Hilfe folgender, auch an sich interessanter Sätze: a) Jede Gruppe \(\mathfrak G\) besitzt einen eindeutig bestimmten, maximalen lokal-nilpotenten Normalteiler, der alle lokal-nilpotenten Normalteiler umfaßt. b) Das Erzeugnis zweier lokal-nilpotenter Normalteiler einer Gruppe \(\mathfrak G\) ist lokal-nilpotent. c) Jede endlich erzeugte nilpotente Gruppe erfüllt die Maximalbedingung für Untergruppen.
Reviewer: O. Grün

MSC:
20D15 Finite nilpotent groups, \(p\)-groups
20F18 Nilpotent groups
20F14 Derived series, central series, and generalizations for groups
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI EuDML
References:
[1] Baer, R.: Representations of Groups as Quotient Groups. II. Trans. Amer. Math. Soc.58, 348-389 (1945). · Zbl 0061.02703
[2] Fitting, H.: Beiträge zur Theorie der Gruppen endlicher Ordnung. Jber. dtsch. Math.-Ver.48, 77-141 (1938). · Zbl 0019.19801
[3] Gruenberg, K. W.: Two Theorems on Engel Groups. Proc. Cambr. Phil. Soc.49, 377-380 (1953). · Zbl 0050.01901
[4] Higman, G., andB. H. Neumann: On two Questions of N. Itô. J. London Math. Soc.29, 84-88 (1954). · Zbl 0055.01602
[5] Hirsch, K. A.: On Infinite Soluble Groups. I. Proc. London Math. Soc.44, 53-60 (1938). · Zbl 0018.14505
[6] Hirsch, K. A.: On Infinite Soluble Groups. II. Proc. London Math. Soc.44, 336-344 (1938). · Zbl 0019.15602
[7] Hirsch, K. A.: On Infinite Soluble Groups. III. Proc. London Math. Soc.49, 184-194 (1947). · Zbl 0033.14902
[8] Hirsch, K. A.: A Characteristic Property of Nilpotent Groups. Proc. Int. Congr. of Math. Cambridge (Mass.) 1950. · Zbl 0038.16402
[9] Hirsch, K. A.: Eine kennzeichnende Eigenschaft nilpotenter Gruppen. Math. Nachr.4, 47-49 (1951). · Zbl 0042.02101
[10] Kuro?, A. G.: Teoriya Grupp, 2. (russische) Aufl. Moskau 1953.
[11] Plotkin, B. I.: Zur Theorie der lokal-nilpotenten Gruppen (russisch). Dokl. Akad. Nauk USSR.76, 639-641 (1951). · Zbl 0043.02201
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