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Subgroups of free metabelian groups. (Die Untergruppen der freien metabelschen Gruppen.) (Russian) Zbl 0065.01002

Das metabelsche Produkt von Gruppen ist in einer früheren Arbeit des Verf. definiert worden [Mat. Sb., N. Ser. 28(70), 431–444 (1951; Zbl 0042.01803)]. Eine freie metabelsche Gruppe \(F_\rho\) des Ranges \(\rho\) ist das metabelsche Produkt von \(\rho\) unendlichen zyklischen Gruppen \((\rho\) ist dabei eine endliche oder unendliche Kardinalzahl). Der Kommutator \((F_\rho, F_\rho)\) ist eine freie abelsche Gruppe des Ranges \(\tfrac12 \rho(\rho-1)\). Das Zentrum von \(F_\rho\) fällt für \(\rho>1\) mit dem Kommutator zusammen. Eine metabelsche Gruppe \(G\) mit einer endlichen Anzahl \(s\) erzeugender Elemente ist dann und nur dann eine freie metabelsche Gruppe des Ranges \(s\), wenn der Kommutator eine freie abelsche Gruppe des Ranges \(\tfrac12 s(s - 1)\) ist. Ein System linear unabhängiger Elemente der Mächtigkeit \(\pi\) erzeugt in \(F_\rho\) eine freie metabelsche Untergruppe des Ranges \(\pi\). Jede Untergruppe \(B\) von \(F_\rho\) läßt sich als Produkt \(B = B_\pi D\) darstellen, wobei \(B_\pi\) eine freie metabelsche Gruppe des Ranges \(\pi\leq \rho\) and \(D = B \cap (F_\rho, F_\rho)\). Umgekehrt ist jeder derartige Gruppentypus \(B\) mit endlichem \(\pi\) als Untergruppe in \(F_\rho\) vertreten.
Reviewer: R. Kochendörffer

MSC:

20Dxx Abstract finite groups

Citations:

Zbl 0042.01803
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Full Text: EuDML MNR