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On the metric theory of inhomogeneous diophantine approximations. (English) Zbl 0066.03702

Sei \(E\) die additive Gruppe der reellen Zahlen, \(K\) die eindimensionale Torusgruppe und \(\Phi: x\to x'\) der natürliche Homomorphismus von \(E\) auf \(K\). Es sei \(\mu\) das Haarsche Maß auf \(K\), und mit \(I[g,h]\) bezeichnen wir die Menge der \(x'\) auf \(K\), für welche \(x\) im Intervall \(g\leq x\leq h\) liegt. (Es ist \(\mu(I[g,h])=h-g\), wenn \(0<h-g\leq 1\).) Es sei nun weiter \(B\) eine nicht-leere Menge von Folgen \(\{b_i\}\) von reellen Zahlen mit \(b_i>0\), \(b_{i+1}<b_i\), \(\sum_{i=1}^\infty b_i=\infty\), dann sei \(\alpha(B)\) die Menge der reellen Zahlen \(x\) \((0\leq x<1)\), für welche folgendes gilt:
Für jede Folge \(\{b_i\}\in B\) gehören fast alle \(y'\in K\) zu unendlich vielen Intervallen \(I[ix-b_i,ix+b_i]\) \((i=1,2, \dots)\).
Es sei nun \(\tilde B\) die Menge der Folgen \(\{b_i\}\) mit obigen Eigenschaften, dann enthält \(\alpha(\tilde B)\) keine rationale Zahl. H. Steinhaus hat die Frage aufgeworfen, ob alle irrationalen Zahlen aus \((0,1)\) in \(\alpha(\tilde B)\) liegen. Diese Frage wird hier beantwortet und zwar so:
Ist \(Y\) die Menge aller Zahlen \(y\) \((0\leq y<1)\), für die es ein \(d_y\geq 1\) gibt, so daß \(y\) nicht die Approximation \(1/(d_y)^2\) zuläßt (d.h. für welche es nicht unendlich viele rationale Zahlen \(p_n/q_n\), \(q_{n+1}>q_n\) mit \(| y-p_n/q_n|\leq 1/(d_y)^2\) gibt), so ist \(\alpha(\tilde B)=Y\). Daraus folgt, daß \(\alpha(B)\) nicht leer ist und ihr Maß gleich 0 ist.
Es wird andererseits gezeigt: Besteht \(B\) nur aus einer einzigen Folge \(\{b_i\}\), dann ist das Maß von \(\alpha(B)\) gleich 1.
Verf. zeigt noch weitere Verallgemeinerungen (darunter auch mehrdimensionale).

MSC:

11J83 Metric theory
11J20 Inhomogeneous linear forms
11K60 Diophantine approximation in probabilistic number theory
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Full Text: DOI EuDML