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Séminaire Henri Cartan: Cohomologie des groupes, suite spectrale, faisceaux. 3e année: 1950/51. Exposés Nos. 1–21. 2e éd. multigraphiée, revue et corrigée. (French) Zbl 0067.15405

École Normale Supérieure. Paris: Secrétariat Mathématique. 188 p. (1955).
Die rasche Entwicklung der algebraischen Topologie in den letzten Jahren hat einerseits das Gesicht dieser Disziplin selbst stark verändert, zum anderen auch ein immer tieferes Eindringen ihrer Gedanken und Methoden in andere Zweige der Mathematik (Funktionentheorie mehrerer Variablen, algebraische Geometric u. a.) bewirkt. Eine der Quellen dieser Entwicklung sind die von Leray und Cartan geschaffenen neuen Grundbegriffe und Methoden. Sie sind ursprünglich insbesondere durch die Exposés der Cartanschen Seminare seit 1948/1949 bekannt geworden. Inzwischen ist jedoch vieles von ihnen bereits zum allgemeinen Bestand der algebraischen Topologie geworden und einiges sogar schon in die Lehrbuchliteratur eingegangen. Aus diesem Grunde kann das Referat über die vorliegenden Exposés des Cartan-Seminars von 1950/51 in vielen Punkten kurz gefaßt werden.
In den Exposés 1–7 wird die Homologie- und Kohomologietheorie von Gruppen und ihre algebraischen Anwendungen (insbesondere in der Theorie der einfachen Algebren) besprochen. Die Einführung der Homologiegruppen \(H_0(\Pi,A)\) der Gruppe \(\Pi\) geschieht axiomatisch, die Axiome beziehen sich auf eine feste Gruppe \(\Pi\) und beliebige \(A\). Für eine neuere Darstellung dieser Theorie in einem allgemeineren Rahmen vergleiche man das Buch von H. Cartan and S. Eilenberg [Homological algebra. Princeton, New Jersey: Princeton Univ. Press (1956; Zbl 0075.24305)].
Exposé 8 enthält den algebraischen Formalismus der Spektralfolgen (suite spectral, spectral sequence), die inzwischen zu einem wichtigen Hilfsmittel der algebraischen Topologie geworden sind. Dieser Formalismus ist gleichfalls im oben genannten Buch von Cartan-Eilenberg dargestellt.
Es folgen in den Exposés 9 und 10 die bekannten Anwendungen der spektralen Folgen auf die Theorie der Faserräume (vgl. J. Leray [J. Math. Pures Appl., IX. Sér. 29, 169–213 (1950; Zbl 0039.19103)]; J.-P. Serre [Ann. Math. (2) 54, 425–505 (1951; Zbl 0045.26003)]) und in den Exposés 11–13 auf Räume mit Gruppen von Operatoren (vgl. H. Cartan [C. R. Acad. Sci., Paris 226, 148–150 (1948; Zbl 0034.25603); 226, 303–305 (1948; Zbl 0034.25701)]; G. Hochschild und J.-P. Serre [Trans. Am. Math. Soc. 74, 110–134 (1953; Zbl 0050.02104)]).
Die Exposés 14–20 betreffen denselben Gegenstand wie die Exposés 12–17 des Seminars von 1948/49 (vgl. Zbl 0067.15404), nämlich die Leray-Cartansche Theorie der faisceaux, für die sich inzwischen die deutsche Bezeichnung ,,Garbe” eingebürgert hat. Die Definitionen der Grundbegriffe sind gegenüber den ursprünglichen Definitionen von J. Leray [J. Math. Pures Appl., IX. Sér. 29, 1–139 (1950; Zbl 0038.36301)] und denen des Seminars von 1948/49 etwas modifiziert worden. Darstellungen (von Teilen) der Garbentheorie auf der Grundlage der Definitionen der vorliegenden Exposés sind inzwischen schon mehrfach in der Literatur gegeben worden, z. B. H. Cartan [Centre Belge Rech. Math., Colloque fonctions plusieurs variables, Bruxelles du 11 au 14 mars 1953, 41–55 (1953; Zbl 0053.05301)]; J.-P. Serre [Ann. Math. (2) 61, 197–278 (1955; Zbl 0067.16201)]; F. Hirzebruch [Neue topologische Methoden in der algebraischen Geometrie. Berlin etc.: Springer-Verlag (1956; Zbl 0070.16302)]. Ein Unterschied dieser Darstellungen gegenüber den vorliegenden Exposés besteht bei der Einführung der Kohomologiegruppen \(H^p(X,F)\) eines Raumes \(X\) mit Koeffizienten in einer Garbe \(F\). Diese werden hier (unter Verallgemeinerungen) axiomatisch eingeführt und ein entsprechender Existenz- und Eindeutigkeitssatz bewiesen. Die Axiome besitzen gewisse Analogien mit den Axiomen der Kohomologietheorie von Gruppen im Exposé 1. Durch diesen axiomatischen Aufbau unterscheidet sich die vorliegende Darstellung der Kohomologietheorie auch von der von Leray (Zbl 0038.36301), die inzwischen gleichfalls weiterentwickelt wurde (vgl. inbesondere I. Fáry [Bull. Soc. Math. Fr. 82, 97–135 (1954; Zbl 0056.16303); C. R. Acad. Sci., Paris 237, 552–554 (1953; Zbl 0052.19002)]).
Exposé 17 bringt die Bestimmung der Kohomologiegruppen durch Auflösungen der Koeffizientengarbe, die exakte Kohomologiefolge, Kohomologiedimension, Produkte in der Kohomologie.
Im Exposé 18 wird der Begriff einer ,,carapace” (vgl. Cartan, Zbl 0035.24603) und seine Beziehungen zum Garbenbegriff untersucht.
Die Fundamentalsätze des Exposés 19 stellen mittels Spektralfolgen Beziehungen her zwischen den Homologieeigenschaften einer graduierten, mit Korand versehenen Garbe einerseits (lokale Verhältnisse) und denen der zugehörigen graduierten, mit Korand versehenen Gruppe der Schnitte andererseits (globale Verhältnisse); z. B.
Satz 3: Sei \(F\) eine graduierte Garbe über \(X\) mit Korand vom Grade \(+1\). Sei die Kohomologie von \(H^p(X,F)\) (bezüglich des Korandes von \(F\)) trivial für \(p\geq 1\). Seien \(X\) von endlicher Kohomologiedimension oder die Grade von \(F\) nach unten beschränkt. Dann existiert eine Spektralfolge mit \(E^2=\sum_{p,q} H^p(X, H^q(F))\) und \(E^\infty = \) graduierter Modul des geeignet gefilterten Kohomologiemoduls des Moduls \(\Gamma(F)\) der Schnitte von \(F\).
Satz 4: Seien \(F\), \(F'\) zwei Garben über \(X\), die beide den Bedingungen des Satzes 3 genügen. Sei \(f: F\to F'\) ein Homomorphismus, der einen Isomorphismus auf zwischen den Kohomologiegarben \(H(F)\) und \(H(F')\) induziert. Dann induziert \(f\) auch einen Isomorphismus auf zwischen den Kohomologiegruppen von \(\Gamma(F)\) und \(\Gamma(F')\). Von diesem Satz waren im Seminar 1948/49 nur Spezialfälle aufgetreten.
Das Exposé 20 bringt Anwendungen dieser Sätze auf die Konstruktion von Isomorphismen zwischen verschiedenen Kohomologietheorien sowie auf Dualitäts- und Schnittsätze für Mannigfaltigkeiten in der Weise des früheren Seminars 1948/49. Die Sätze des Exposés 19 sind inzwischen auch anderweitig angewendet worden [vgl. z. B. W. V. D. Hodge und M. F. Atiyah [Ann. Math. (2) 62, 56–91 (1955; Zbl 0068.34401)].
Im Exposé 21 wird die Leraysche Theorie des spektralen Ringes einer stetigen Abbildung (Zbl 0038.36301) im Rahmen der obigen Kohomologietheorie entwickelt. Für eine Weiterentwicklung dieser Lerayschen Theorie vgl. z. B. auch I. Fáry [Ann. Math. (2) 63, 437–490 (1956; Zbl 0073.39804)].
Reviewer: Ewald Burger

MSC:

55-06 Proceedings, conferences, collections, etc. pertaining to algebraic topology
18-06 Proceedings, conferences, collections, etc. pertaining to category theory
20-06 Proceedings, conferences, collections, etc. pertaining to group theory
00B15 Collections of articles of miscellaneous specific interest
18G40 Spectral sequences, hypercohomology
20J06 Cohomology of groups