On Hausdorff bicompact semigroups. (Russian. English summary) Zbl 0068.02301

Schwarz, Štefan

Czech. Math. J. 5(80), 1-23 (1955).

Verf. hat früher [Czech. Math. J. 3(78), 7–21 (1953; Zbl 0053.34803)] eine Reihe von für periodische Halbgruppen geltenden Behauptungen bewiesen. Analoga, die auch für Hausdorffsche bikompakte Halbgruppen gelten, werden in der vorliegenden Arbeit untersucht. Zusätzlich werden hier viele Ergebnisse abgeleitet, für die man keine Analogie im Fall der periodischen Halbgruppen findet. Unter dem Symbole \(S\) verstehen wir immer eine Hausdorffsche bikompakte Halbgruppe.
Ist \(A\) eine Teilhalbgruppe in \(S\), dann ist auch \(\bar A\) eine Teilhalbgruppe in \(S\). Ist \(a\in S\), \(A_n = \{a^n + a^{n+1}+ a^{n+2}+ \ldots\}\), dann ist \(G = \bigcap_{n=1}^\infty \bar {A_n}\) eine kommutative Untergruppe in \(A_1\) und das Einheitselement der Gruppe \(G\) ist das einzige Idempotent in \(A_1\). Daraus folgt, daß in \(S\) mindestens ein Idempotent enthalten ist. Ist \(e\) ein Idempotent in \(S\), \(a\in S\), und ist \(e\) das einzige Idempotent der Halbgruppe \(\overline{\{a, a^2, a^3, \ldots\}}\) dann sagen wir, daß \(a\) zu dem Idempotente \(e\) gehört. Wird mit \(K_\alpha\) die Menge aller zu dem Idempotente \(e_\alpha\) gehörigen Elemente in \(S\) bezeichnet, dann ist \(S\) die Vereinigung von zueinander elementfremden Mengen \(K_\alpha\). Die Menge \(K_\alpha\) ist nicht notwendig abgeschlossen. Ist \(K_\alpha\) nicht abgeschlossen, so gibt es ein \(\beta\ne \alpha\), so daß \(\bar K_\alpha\cap K_\beta\ne \emptyset\) folgende Beziehungen befriedigt werden: \(e_\beta \in \bar K_\alpha\), \(e_\alpha e_\beta = e_\beta e_\alpha = e_\alpha\), \(K_\alpha\cap \bar K_\beta = \emptyset\).
Eine Halbgruppe \(P_\alpha\subseteq S\) heißt eine zu einem Idempotente \(e_\alpha\) gehörige maximale Halbgruppe, wenn \(e_\alpha\) das einzige Idempotent in \(P_\alpha\) ist und für jede höchstens ein Idempotent enthaltende Halbgruppe \(P'\) aus \(P_\alpha \subseteq P' \ne S\) \(P_\alpha = P'\) folgt. In den kommutativen Halbgruppen wird die Beziehung \(P_\alpha = K_\alpha\), für jedes Idempotent \(e_\alpha\in S\) erfüllt.
Eine Gruppe \(G_\alpha\subseteq S\) heißt eine zu einem Idempotent \(e_\alpha\) gehörige maximale Gruppe, wenn \(e_\alpha\in G_\alpha\) gilt und für eine Gruppe \(G'\) aus \(G_\alpha\subseteq G' \subseteq S\) \(G_\alpha = G'\) folgt. Es existiert genau eine zu dem Idempotent \(e_\alpha\) gehörige maximale Gruppe \(G_\alpha\); \(G_\alpha\) ist abgeschlossen und in \(K_\alpha\) enthalten; \(G_\alpha = K_\alpha e_\alpha = e_\alpha K_\alpha = \bar K_\alpha e_\alpha = e_\alpha\bar K_\alpha\), \(G_\alpha\cap G_\beta = \emptyset\) für \(\alpha\ne \beta\).
Ein zu einem Idempotent \(e\) gehöriges Element \(a\in S\) heißt regulär, wenn \(a\, e = a\) gilt – oder äquivalent damit – wenn \(\overline{\{a, a^2, a^3,\ldots\}}\) eine Gruppe ist. Die Menge aller regulären Elemente in \(S\) ist gleich \(\bigcup_\alpha G_\alpha\). Also zerfällt eine Halbgruppe dann und nur dann in zueinander elementfremde Gruppen, wenn jedes Element \(a\in S\) regulär ist. Daraus geht unmittelbar hervor, daß eine zusammenhängende, nur aus regulären Elementen bestehende und nur endlich viele Idempotente enthaltende Halbgruppe eine Gruppe ist.
Ein Idempotent \(e\in S\) heißt primitiv (maximal), wenn für kein Idempotent \(f\in S\), \(f\ne e\), die Gleichungen \(f\,e = e\,f = f\) \((f\,e = e\,f = e)\) erfüllt werden. Ist \(e_\alpha\) ein maximales Idempotent in \(S\), dann ist \(K_\alpha\) abgeschlossen. Ist jedes Idempotent in \(S\) primitiv, so ist jedes \(K_\alpha\) abgeschlossen. Es sei \(e_\alpha\) ein fest ausgewähltes Idempotent in \(S\). Für die Mengen \(\mathfrak P_\alpha = \bigcup_{e_\alpha\in \bar K_\beta} K_\beta\), \(\mathfrak Q_\alpha = \bigcup_{e_\beta\in \bar K_\alpha} \bar K_\beta\) gelten folgende Behauptungen:
1. \(\mathfrak P_\alpha\cap \mathfrak Q_\alpha = K_\alpha\);
2. \(\mathfrak Q_\alpha = K_\alpha \Leftrightarrow K_\alpha\) ist abgeschlossen;
3. Ist \(K_\alpha\) offen, so ist \(\mathfrak P_\alpha = K_\alpha\).
Wenn es in \(S\) nur endlich viele Idempotente gibt, so gilt auch die Umkehrung der Behauptung 3.
Ist \(S\) kommutativ, so sind \(\mathfrak Q_\alpha\) und \(\mathfrak P_\alpha\) Halbgruppen, \(e_\alpha\) ist das einzige primitive (maximale) Idempotent in \(\mathfrak Q_\alpha\) \((\mathfrak P_\alpha)\) und \(\mathfrak Q_\alpha e_\alpha = \overline{\mathfrak Q}_\alpha\) \(e_\alpha = G_\alpha\).
Es ist bekannt, daß es in \(S\) ein einziges minimales zweiseitiges Ideal \(\mathfrak n\) gibt. Auf dieses Ideal \(\mathfrak n\) bezieht sich eine Verallgemeinerung des Begriffes ,,nilpotentes Element”. Ein Element \(a\in S\) nennen wir \(\mathfrak n\)-nilpotent, wenn \(a\) zu einem Element aus \(\mathfrak n\) gehört. \(a\) ist nichttrivial \(\mathfrak n\)-nilpotent, wenn \(a\in S - \mathfrak n\) gilt. In einer zusammenhängenden Halbgruppe \(S\), deren Menge \(E\) aller Idempotente endlich ist und \(\operatorname{card} E > 1\), existieren nichttriviale \(\mathfrak n\)-nilpotente Elemente. Zum Schluß werden zwei ,,extreme” Fälle untersucht.
1. Ist \(\bigcap_\alpha \bar K_\alpha \ne \emptyset\), so liegt in der Menge \(\bigcap_\alpha \bar K_\alpha\) genau ein Idempotent \(e\) und \(e\) ist das einzige maximale Idempotent in \(S\).
2. In \(S\) existiert nur ein \(K_\alpha\), für das \(\bar K_\alpha = S\) gilt; im Fall \(\bar K_\alpha = S\) ist \(e_\alpha\) das einzige primitive Idempotent in \(S\).

Reviewer: František Šik (Brno)

MSC:

22A15

Structure of topological semigroups

Keywords:

Hausdorff bicompact semigroups

Citations:

Zbl 0053.34803