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Characters of bicompact semigroups. (Russian. English summary) Zbl 0068.02401
Es sei \(S\) eine Hausdorffsche bikompakte kommutative Halbgruppe. Unter einem Charakter der Halbgruppe \(S\) verstehen wir einen stetigen Homomorphismus der Halbgruppe \(S\) auf die (topologische) multiplikative Gruppe der komplexen Zahlen vom Absolutbetrag 1. Auf der Menge \(S^*\) aller Charaktere der Halbgruppe \(S\) kann man auf natürliche Weise eine algebraische Verknüpfung erklären, so daß \(S^*\) eine Gruppe wird. Man zeigt, daß der Durchschnitt \(\mathfrak n\) aller Ideale in \(S\) eine Gruppe ist. Das Einheitselement der Gruppe \(\mathfrak n\) ist das kleinste Element \(e\) der teilweise geordneten Menge \(E\) aller Idempotente in \(S\). (Die Anordnung \(\le\) in \(E\) wird dabei durch die Vorschrift \(e_1\le e_2 \Leftrightarrow e_1 e_2= e_1\) definiert.) Es wird bewiesen, daß jede Funktion \(f\in S^*\) dieselben Werte annimmt, wie die partielle Funktion \(f_{\mathfrak n}\). Genauer ausgedrückt ist \(f(a) = f(b)\), wenn \(a\, e = b\, e\) gilt (wobei \(S\, e = \mathfrak n\) ist). Umgekehrt wird jeder Charakter \(f\) auf \(S\) durch die Funktion \(f_{\mathfrak n}\) eindeutig bestimmt. Also ist die Gruppe \(S^*\) zur Gruppe aller Charaktere der Gruppe \(\mathfrak n\) isomorph.

MSC:
22A15 Structure of topological semigroups
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Full Text: EuDML