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Topological semigroups with one-sided units. (Russian. English summary) Zbl 0068.02402
Unter einer Halbgruppe \(S\) verstehen wir immer eine Hausdorffsche bikompakte Halbgruppe. Man sagt, daß in \(S\) ein \(L^*\) \((R^*\), \(M^*)\) existiert, wenn \(L^*\) \((R^*\), \(M^*)\) das größte Element der durch Inklusion geordneten Menge aller linksseitigen (rechtsseitigen, zweiseitigen) Ideale \(\ne S\) ist. Die Existenz eines linksseitigen Ideales und eines rechtsseitigen Einheitselementes in \(S\) ist eine hinreichende Bedingung für die Existenz eines \(L^*\). Unter der Zusatzvoraussetzung \(\operatorname{card}(S - L^*)> 1\) wird die Bedingung auch notwendig. Dann und nur dann existiert in einer zusammenhängenden Halbgruppe ein \(L^*\), wenn gilt:
a) \(S\) hat mindestens ein rechtsseitiges Einheitselement;
b) \(S\) ist keine linksseitig einfache Halbgruppe (d. h. \(\bigcap_{a\in S}Sa\ne S)\).
Existiert ein \(L^*\) in \(S\), so existiert auch ein \(M^*\) und es gilt \(L^* = M^*\).
Ist \(\operatorname{card}(S - L^*)> 1\) oder \(S\) zusammenhängend, dann ist \(S - L^*\) eine linksseitig einfache und abgeschlossene Halbgruppe, die in isomorphe abgeschlossene elementfremde Gruppen zerfällt.
\(S\) sei eine zusammenhängende Halbgruppe mit einem rechtsseitigen Einheitselement. Dann ist jede zu einem beliebigen rechtsseitigen Einheitselement gehörige maximale Gruppe im Rand des Ideals \(L^*\) enthalten.
Zum Schluß wird eine negative Antwort auf die folgende von A. D. Wallace aufgeworfene Frage gegeben: Wenn eine zusammenhängende Hausdorffsche bikompakte Halbgruppe \(S\) genau ein linksseitiges Einheitselement \(e\) besitzt, ist \(e\) gleichzeitig ein rechtsseitiges Einheitselement in \(S\)?

MSC:
22A15 Structure of topological semigroups
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Full Text: EuDML