×

The characters of the finite general linear groups. (English) Zbl 0068.25605

Es sei \(\mathcal F=\mathcal F_1\) das Galoisfeld von \(q\) Elementen und \(G_n = \mathrm{GL}(n, q)\) die (allgemeine lineare) Gruppe der nichtsingulären \(n\)-reihigen Matrizen über \(\mathcal F\). Verf. leitet in der vorliegenden Arbeit (Theorem 14) explizite Formeln zur Berechnung der (absolut) irreduziblen Charaktere zu Darstellungen der endlichen Gruppe \(S_n\) über dem komplexen Zahlkörper her; für \(n = 2, 3, 4\) war diese Aufgabe durch Jordan, Schur und Steinberg bereits gelöst. Diese Charaktere werden einerseits als Linearkombinationen von “Basischarakteren”, andererseits als induzierte Charaktere von Produkten von primären irreduziblen Charakteren dargestellt; für die Grade der Charaktere werden jeweils Formeln angegeben. Neben induzierten Charakteren werden der Übergang zu modularen Darstellungen sowie Ergebnisse von R. Brauer u.a. benutzt. Die an sich nicht leicht lesbare Darstellung wird durch zahlreiche Beispiele aufgelockert; Tabellen für benutzte Hilfsfunktionen für \(n = 2, 3, 4, 5\) werden angegeben.
Reviewer: E. Lamprecht

MSC:

20C15 Ordinary representations and characters
Full Text: DOI

References:

[1] Richard Brauer, A characterization of the characters of groups of finite order, Ann. of Math. (2) 57 (1953), 357 – 377. · Zbl 0050.02401 · doi:10.2307/1969864
[2] R. Brauer and C. Nesbitt, On the modular representations of groups of finite order I, University of Toronto Studies, no. 4, 1937. · Zbl 0018.29504
[3] G. Frobenius, Über Relationen zwischen den Charakteren einer Gruppe und denen ihrer Untergruppen, Sitz. Berlin. Akad. (1898) pp. 501-515. · JFM 29.0102.01
[4] -, Über die Komposition der Charaktere einer Gruppe, Sitz. Berlin Akad. (1899) pp. 330-339. · JFM 30.0130.01
[5] -, Über die Charaktere der Symmetrischen Gruppe, Sitz. Berlin Akad. (1900) pp. 516-534. · JFM 31.0129.02
[6] P. Hall, A contribution to the theory of groups of prime-power order, Proc. London Math. Soc. vol. 36 (1933) pp. 29-95. · Zbl 0007.29102
[7] -, Abelian \( p\)-groups and related modules (unpublished).
[8] Herbert E. Jordan, Group-Characters of Various Types of Linear Groups, Amer. J. Math. 29 (1907), no. 4, 387 – 405. · JFM 38.0175.01 · doi:10.2307/2370015
[9] Dudley E. Littlewood, The Theory of Group Characters and Matrix Representations of Groups, Oxford University Press, New York, 1940. · Zbl 0025.00901
[10] I. Schur, Untersuchungen über die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochene lineare Substitutionen, J. Reine Angew. Math. vol. 132 (1907) pp. 85-137. · JFM 38.0174.02
[11] Andreas Speiser, Die Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung, Dover Publications, New York, N. Y., 1945 (German). · JFM 49.0081.01
[12] Robert Steinberg, The representations of \?\?(3,\?),\?\?(4,\?),\?\?\?(3,\?), and \?\?\?(4,\?), Canadian J. Math. 3 (1951), 225 – 235. · Zbl 0042.25602
[13] R. Steinberg, A geometric approach to the representations of the full linear group over a Galois field, Trans. Amer. Math. Soc. 71 (1951), 274 – 282. · Zbl 0045.30201
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. In some cases that data have been complemented/enhanced by data from zbMATH Open. This attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming completeness or a perfect matching.