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The theory of functions of real variables. 2nd ed. (English) Zbl 0070.05203

International Series in Applied Mathematics. New York: McGraw-Hill Book Company, Inc. xii, 375 p. (1956).
Für Kenner der ersten Auflage (New York 1946): Die vorliegende zweite Auflage unterscheidet sich von der ersten nur durch die Anfügung der Kapitel XIII und XIV.
Kapitelüberschriften: I. Einführung (16 Seiten); II. Das reelle Zahlensystem (23); III. Punktmengen (14); IV. Funktionen und ihre Limiten, Eigenschaften stetiger Funktionen (15); V. Grundlegende Sätze der Differentialrechnung (16); VI. Das Riemannsche Integral (13); VII. Gleichmäßige Konvergenz (36); VIII. Implizite Funktionen (19); IX. Gewöhnliche Differentialgleichungen (22); X. und XI. Das Lebesguesche Integral (86); XII. Das Stieltjessche Integral (37). XIII. Mengenlehre und transfinite Zahlen (38); XIV. Metrische Räume (36); Sachverzeichnis (5).
In I werden die Grundbegriffe und die im Buch zwar häufig, aber nicht systematisch verwendete logistische Zeichensprache eingeführt, II stellt das System der reellen Zahlen als einen vollständigen linear geordneten algebraischen Körper heraus. In V wird u.a. das Differential von \(f\) als Funktion von 2 Argumenten eingeführt, \(df(x;\xi)\), welches in \(\xi\) linear ist. VII bringt das wichtigste über unendliche Reihen, Vertauschungssätze und unstetige Funktionen. In VIII dienen Fixpunktsätze, insbesondere der Brouwersche, zum Existenznachweis für Lösungen. IX behandelt Systeme von gewöhnlichen Differentialgleichungen und diesbezügliche Sätze über die Differenzierbarkeit der Lösungen und Existenz von ,,ersten Integralen”. In X und XI wird das Lebesguesche Integral nach dem Vorgang von F. Riesz entwickelt: Die meßbaren Funktionen sind die nahezu gleichmäßigen Limiten von Folgen von Intervalltreppenfunktionen, das Lebesguesche Integral ist der Limes der Integrale von solchen Folgen. XII enthält eine sehr ausführliche Analyse des Stieltjesschen Integrals und als Abschluß den Rieszschen Satz über stetige lineare Funktionale. In XIII definiert Verf. im Anschluß an von Neumann die Mengen \(0 = o\), \(1 = \{o\}\), \(2 = \{o, \{o\}\}, \ldots\) als Ordinalzahlen, welche allgemein auf rein axiomatische Weise erklärt werden, als Mengenmengen \(\alpha\), welche (1) vermöge der \(\in\) Relation wohlgeordnet sind und (2.) die Bedingung ,,Aus \(x\in \alpha\) folgt stets \(x\subset \alpha\)” erfüllen, und leitet daraus die wichtigsten Sätze über Ordinal- und Kardinalzahlen ab. Die verschiedenen Formen und die Rolle des Auswahlaxioms werden besprochen. XIV bringt eine Einführung in die Topologie der metrischen Räume.
Im Buch finden sich zahlreiche Übungsaufgaben, unter welchen dem Ref. eine besonders bemerkenswert schien: Sie verlangt, aus 26 ,,Prämissen” und 80 ,,Folgerungen” durch Kombination richtige Sätze bzw. Definitionen zu bilden. Das ganze stellt ein Buch vor, aus dem man in gediegener Weise nicht nur die Theorie der reellen Funktionen sondern auch ein gutes Stück modernen mathematischen Denkens lernen kann, und dies an konkreten klassischen Gegenständen.
Reviewer: G. Aumann

MSC:

26-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to real functions
34-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to ordinary differential equations

Citations:

Zbl 0063.01720