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Irrational numbers. (English) Zbl 0070.27101

The Carus Mathematical Monographs. No. 11. New York: John Wiley and Sons, Inc., Publ. by The Mathematical Association of America xii, 164 p., 1 figure (1956).
Ein klar geschriebenes Büchlein, das trotz leichter Lesbarkeit bis zur vollen Erledigung schwieriger Fragen vordringt. Alle über das Elementarste hinausgehenden Vorkenntnisse findet man jeweils da, wo sie gebraucht werden, in klar formulierten Hilfssätzen ausgebreitet und teils mit Beweis, teils mit genauer Angabe von Lehrbuchstellen versehen.
Inhalt der zehn Kapitel: I. Die Begriffe abzählbar und überall dicht; systematische Brüche und Cantorsche Reihen. II. Irrationalität der trigonometrischen Funktionen für rationale Argumente außer 0; Transzendenz von \(e\). III. Nachweis, daß die trigonometrischen Funktionen für Argumente der Form \(r\pi\), wo \(r\) rational, algebraische Zahlen sind. IV–VI. Approximation durch rationale Zahlen. Hier wird mit dem Schubladenprinzip (auch mehrdimensional für Simultanapproximation) und mit Kettenbrüchen gearbeitet. Auch die Gleichverteilung modulo 1 wird im Eindimensionalen bewiesen, ohne und mit Exponentialfunktion. VII. Abzählbarkeit der algebraischen Zahlen, weiteres über Approximation durch rationale, transzendente, speziell Liouvillesche Zahlen. VIII. Normale Zahlen; das sind solche, bei deren Darstellung als Dezimalbruch (oder auch \(r\)-albruch) jede Ziffer gleiche Dichte \((1/10, 1/r)\) hat und für jedes \(n\) auch jeder Block von \(n\) Ziffern gleiche Dichte \((1/10^n, 1/r^n)\) hat. Fs wird gezeigt, daß fast alle Zahlen für jede Basis \(r\) normal sind. Es ist aber von keiner speziellen Zahl, wie etwa \(\sqrt 2\) oder \(e\), bekannt, ob sie normal ist; doch wird ein Beispiel einer im Dezimalsystem normalen Zahl gegeben. IX. Der allgemeine Lindemannsehe Satz. X. Das Gelfond-Schneider-Theorem, das ist der Satz: Wenn \(\alpha,\beta\) algebraisch sind (nicht notwendig reell), und zwar \(\alpha\neq 0\), \(\alpha\neq 1\) und \(\beta\) nicht rational, dann ist jeder Wert von \(\alpha^\beta\) transzendent.

MSC:

11J72 Irrationality; linear independence over a field
11Jxx Diophantine approximation, transcendental number theory
11K16 Normal numbers, radix expansions, Pisot numbers, Salem numbers, good lattice points, etc.
11-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to number theory