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The imbedding problem for Riemannian manifolds. (English) Zbl 0070.38603
Das lokale Problem der Einbettung einer gegebenen Riemannschen Mannigfaltigkeit \(V_n\) in einen euklidischen Raum \(E_m\), von Schläfli gestellt und ausgesprochen, wurde vor Jahren von Janet für \(n=2\) und von E. Cartan für beliebiges \(n\) gelöst. In beiden Fällen handelte es sich um analytische Mannigfaltigkeiten. In früheren Arbeiten hatten sich der Verf. und N. H. Kuiper mit \(C^1\)-Einbettungen (d.h. solchen, bei welchen der eingebettete Raum von der Regularitätsklasse \(C^1\) ist) befasst und bei solchen Einbettungen eine Herabsetzung der Dimensionszahl \(m\) erzielt. Bis vor kurzem sind die Einbettungen im Großen (speziell für geschlossene bzw. kompakte Mannigfaltigkeiten) betrachtet worden in bezug auf das Weylsche Problem (betreffend die Einbettung einer geschlossenen \(V_2\) mit positiver Gaußschen Krümmung in einen \(E_3\)). In dieser Hinsicht sind die Arbeiten von Aleksandrov und Pogorelov (die eine geometrische Approximationsmethode mit Hilfe von Polyedern verwenden) und die von Lewy und Nierenberg (die eine analytische Methode anwenden) zu erwähnen. Bei der Einbettung in einen Raum von höherer Dimension verschwindet die Starrheit. Die Hauptergebnisse, die in dieser wichtigen Arbeit enthalten sind, können in folgenden zwei Sätzen ausgesprochen werden: Jede kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit \(V_n\) mit positiv definierter Metrik von der Klasse \(C^k\) (\(k\geq 3\)) kann in eine beliebig kleine Portion des euklidischen Raumes \(E_m\) isometrisch eingebettet werden, wobei die Klasse der Einbettung ebenso gleich \(C^k\) ist und \(m=\frac{1}{2}n(3n+11)\) ist. Für Einbettungen von nicht kompakten Mannigfaltigkeiten erzielt der Verf. eine größere Dimensionszahl für \(m\), nämlich \(m=\frac{1}{2}n(n+1)(3n+11)\). Der Verf. bedient sich einer orginellen Methode der “Perturbationen”, wobei ein Glättungsoperator (smoothing operator) verwendet wird. Auf die Einzelheiten dieser Methoede, die einen allgemeineren Charakter zu besitzen scheint und vielversprechend ist, kann hier nicht näher eingegangen werden.
Reviewer: S. Gotab

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