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Additive Zahlentheorie. I: Allgemeine Untersuchungen. (German) Zbl 0072.03101
Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 7. Heft. Berlin-Göttingen- Heidelberg: Springer-Verlag. 240 pp. 1 plate. (1956).
Seit Schnirelmann im Jahre 1930 seinen Dichtebegriff einführte, hat sich in Zusammenhang hiermit ein neuer Zweig der additiven Zahlentheorie entwickelt. Innerhalb dieses neuen Gebiets ist in den verlaufenen Jahren ein reichhaltiges Schrifttum emporgeschossen, dessen Umfang schon lange eine Gesamtdarstellung wünschenswert machte.
Das vorliegende, zweibändige Werk ist der erste Versuch, diesem Mangel abzuhelfen [Zbl 0072.03102]. Der Verf. hat sich nicht damit begnügt, nur denjenigen Zweig der additiven Zahlentheorie, der aus dem Schnirelmannschen Dichtebegriff entstanden ist, zu behandeln, sondern versucht vielmehr alles, was auf den additiven Eigenschaften baut, zusammenzufassen. Er hat auch nicht versucht, einen Unterschied zu machen zwischen wesentlichen und unwesentlichen Ergebnissen, sondern hat es als seine Aufgabe gesehen, dem Leser eine Übersicht über das ganze, einschlägige Schrifttum zu geben. Das Werk enthält deshalb ein vollständiges und sehr wertvolles Literaturverzeichnis. Der erste Band gibt die allgemeine Theorie, während im zweiten Band besondere Zahlenmengen, wie z. B. die Primzahlen, die quadratfreien Zahlen usw., behandelt werden.
Der erste Band beginnt mit einer ziemlich abstrakten, mengentheoretischen Einführung des Summenbegriffs. In einem späteren Abschnitt, der ganz isoliert dasteht, werden die Partitionsprobleme erörtert. Hier wird auch eine kurzgefaßte Darstellung von Rademachers Beweis für die Darstellung von \(p(n)\) in einer schnell konvergierenden Reihe gegeben. Weiter folgt eine längere Besprechung der verschiedenen Dichtebegriffe, wo u. a. die sog. Störsche \(\varphi\)-Dichte ausführlich erörtert wird. Dem zentralen Gegenstand der Dichtetheorie, der \((\alpha+\beta)\)-Hypothese, die von Mann endlich gelöst wurde, ist auch gebührende Aufmerksamkeit gewidmet. Des weiteren kann erwähnt werden, daß Basen endlicher Ordnung, Minimalbasen und wesentliche Komponenten erschöpfend behandelt sind.
Reviewer: S. Selberg

MSC:
11Bxx Sequences and sets
11-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory
11B05 Density, gaps, topology
11B13 Additive bases, including sumsets
11B34 Representation functions
11B75 Other combinatorial number theory
11B83 Special sequences and polynomials
11P81 Elementary theory of partitions