Convex capacity of sets and the Fourier series. (Russian) Zbl 0072.06202

Temko, K. V.

Dokl. Akad. Nauk SSSR 110, 943-944 (1956).

Im Zusammenhang mit der Untersuchung von Ausnahmemengen bei Fourierreihen hat A. Beurling den Begriff der logarithmischen Kapazität einer Menge eingeführt [Acta Math. 72, 1–13 (1940; Zbl 0023.14204)]. Daran schlossen sich die Untersuchungen von R. Salem und A. Zygmund [Trans. Am. Math. Soc. 59, 23–41 (1946; Zbl 0060.18511)] an. Hier wird in naheliegender Verallgemeinerung der genannten Arbeiten die konvexe Kapazität einer Menge eingeführt. \(\alpha_n\) sei eine konvexe Folge positiver monoton gegen \(0\) strebender Zahlen mit \(\sum\alpha_n=\infty\). Eine Borelsche Menge \(B\) aus \([0,2\pi]\) heißt von positiver konvexer Kapazität, wenn über \([0,2\pi]\) ein nichtnegatives totaladditives Maß \(\eta\) existiert mit \(\eta(B)=1\) und wenn \(\int_{B}Q(r,x-y,\alpha)\,d\eta(y)\text{ für } r\rightarrow 1-0\) gleichmäßig beschränkt in \(x\) ist, wobei \[ Q(r, x, \alpha)=\tfrac12\alpha_{0}+\sum r^n\alpha_n\cos nx. \] Damit lassen sich bekannte Sätze über trigonometrische Reihen verallgemeinern.

Reviewer: Leopold Schmetterer (Wien)

MSC:

42A20	Convergence and absolute convergence of Fourier and trigonometric series
30C65	Quasiconformal mappings in \(\mathbb{R}^n\), other generalizations

Keywords:

convex capacity of sets; Fourier series

Citations:

Zbl 0023.14204; Zbl 0060.18511