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Harmonic analysis and discontinuous groups in weakly symmetric Riemannian spaces with applications to Dirichlet series. (English) Zbl 0072.08201
Die Arbeit ist eine Skizze einer geschlossenen Theorie, die der Verf. in den letzten fünf Jahren entwickelte, und über die er bisher nur in Vorlesungen berichtete. Sie zerfällt in zwei Teile, deren erster eine leicht verständliche Einführung in die Grundzüge darstellt, unter Ausführung oder wenigstens ausführlicher Andeutung der Beweise. Der zweite Teil berichtet über charakteristische Anwendungen, verzichtet aber fast durchweg auf Beweise.
(I) \(S\) sei ein Riemannscher Raum mit der positiv definiten Metrik \(ds^2 = \sum g_{ik}\,dx^i \,dx^k\), die \(g_{ik}\) seien analytisch in den Koordinaten \(x^i\). Es gebe eine transitive Gruppe \(G\) von Isometrien von \(S\).
(1) Es werden Integraloperatoren studiert, deren Kerne \(k(x, y)\) die Invarianzgleichung \(k(mx, my) = k(x, y)\) für alle \(m\in G\) erfüllen. Der Raum heißt schwach symmetrisch, wenn es eine Isometrie \(\mu\) mit den Eigenschaften gibt: \(\mu^{-1} G \mu = G\), zu je zwei Punkten \(x, y\in S\) gibt es ein \(m\in G\) mit \(\mu x = my\), \(\mu y = mx\). In schwach symmetrischen Räumen sind alle Integraloperatoren vertauschbar. Der Ring der invarianten Differentialoperatoren besitzt eine endliche Basis \(D_i\), auch diese \(D_i\) sind kommutierbar. Eine Eigenfunktion aller \(D_i\) mit den zugehörigen Eigenwerten \(\lambda_i\), ist gleichzeitig eine Eigenfunktion jedes Integraloperators, wobei der Eigenwert eine Funktion \(h(\lambda) = h(\lambda_1,\lambda_2,\ldots)\) der Eigenwerte der \(D_i\) ist.
(2) \(\Gamma\) sei eine diskrete Untergruppe von \(G\), welche in \(S\) eigentlich diskontinuierlich ist, und \(\chi(M)\), \(M\in\Gamma\), sei eine Darstellung \(\nu\)-ten Grades von \(\Gamma\). Man studiert nun Funktionen \(F(x)\) mit Werten in dem Darstellungsmodul von \(\chi(M)\) mit der Invarianzeigenschaft \(F(Mx) = \chi(M) F(x)\), welche Eigenfunktionen der \(D_i\) sind. Die Wirkung der Integraloperatoren auf diese \(F(x)\) kann so geschrieben werden:
\[ \int_S k(x,y) F(y) \,dy = \int_D K(x,y;\chi) F(y) \,dy,\quad K(x, y; \chi) = \sum_{M\in\Gamma} \chi(M) k(x, My), \]
wo \(D\) ein Fundamentalbereich von \(\Gamma\) in \(S\) ist. Die Reihe für \(K(x, y; \chi)\) konvergiert absolut und gleichmäßig unter gewissen Bedingungen für \(k(x, y)\), die fortan als erfüllt vorausgesetzt werden. Es gilt nun mit der in (2) erklärten Funktion \(h(\lambda)\):
\[ \sum_\lambda h(\lambda) = \text{Spur} \left(\int_D K(x,x; \chi) \,dx\right); \]
links wird über sämtliche Systeme \(\lambda\) simultaner Eigenwerte der \(D_i\) summiert; die Summe ist, je nach den über \(k(x, y)\) und \(D\) gemachten Voraussetzungen, entweder konvergent oder in einem gewissen Sinne limitierbar. Vorbedingung dieser Gleichung ist vor allem die Existenz eines diskreten Eigenwertspektrums, welches z. B. im Falle eines kompakten Fundamentalbereichs \(D\) vorliegt. Die rechte Seite kann man nun noch durch eine elementare Umformung in die Gestalt einer Summe bringen, in der \(M\) nur ein Repräsentantensystem der Klassen konjugierter Elemente durchläuft. So entsteht die fundamentale Spurformel, auf die sich alle Anwendungen der Theorie stützen. Die Beschreibung der in der Spurformel auftretenden Größen an dieser Stelle würde zu weit führen.
(II) Abgesehen von kürzeren Andeutungen werden zwei Anwendungen der allgemeinen Spurformel behandelt.
(i) \(S\) sei die obere komplexe Halbebene: \(z = x+ iy\), \(y > 0\), gedeutet als das Poincarésche Modell der hyperbolischen Ebene, \(G\) die hyperbolische Bewegungsgruppe, \(\Gamma\) eine Untergruppe von \(G\) mit kompaktem Fundamentalbereich. Der einzige invariante Differentialoperator ist der Beltramische \(\Delta = y^{-2} (\partial^2/\partial x^2 + \partial^2/\partial y^2)\), alle Eigenfunktionen sind Linearkombinationen von \(y^s\)für verschiedene \(s\). Die explizite Ausführung der Spurformel führt insbesondere zu einer der Gruppe \(\Gamma\) zugeordneten Zetafunktion, deren Definition das Folgende vorausgeschickt werden muß:
Ein \(M\in\Gamma\) läßt sich mittels eines \(m\in G\) in die Normalform \(m^{-1}Mm(z) = \rho z\) mit reellem \(\rho\), \(\vert\rho\vert > 1\), transformieren. Man schreibt \(\vert\rho\vert = N(M)\). Ein \(P\in\Gamma\) heißt primitiv, wenn es sich nicht mittels eines \(Q\in\Gamma\) in der Form \(P = Q^h\), \(h > 1\), darstellen läßt. Die Zetafunktion ist nun
\[ \zeta_\Gamma(s,\chi) = \prod_P \, \prod_{k=0}^\infty \vert 1_\nu - N(P)^{-k-s}\vert, \]
wo \(P\) ein Repräsentantensystem aller Klassen primitiver Elemente von \(\Gamma\) durchläuft und \(1_\nu\) die \(\nu\)-reihige Einheitsmatrix bedeutet. \(\zeta_\Gamma(s,\chi)\) ist eine ganze Funktion der Ordnung 2, ausgenommen, wenn der Fundamentalbereich das Geschlecht 0 hat; dann tritt in \(s = 0\) ein Pol höchstens \(\nu\)-ter Ordnung auf. \(\zeta_\Gamma(s,\chi)\) hat ..triviale” Nullstellen in \(s = 0, - 1, - 2,\ldots\) Die ,,nicht-trivialen” Nullstellen liegen in \(s = \tfrac12+ir\), wobei \(\lambda = -(\tfrac14 + r^2)\) die Eigenwerte des Beltrami-Operators \(\Delta\) durchläuft. \(\zeta_\Gamma(s,\gamma)\) und \(\zeta_\Gamma(1-s,\chi)\) sind durch eine einfache Funktionalgleichung verbunden. Ist der Fundamentalbereich von \(\Gamma\) nicht mehr kompakt, aber noch von endlichem Flächeninhalt, so hat das Eigenwertspektrum von \(\Delta\) einen kontinuierlichen Anteil. Man kann jetzt aber einen Integraloperator angeben, der nur noch den diskreten Anteil des Spektrums besitzt. Im Falle einer einzigen parabolischen Spitze wird dieser Schritt explizit durchgeführt. Die entsprechend gebildete Zetafunktion hat etwas andere Eigenschaften.
(2) Die Heckeschen Operatoren \(T_n\) (d. h. die Darstellungen der klassischen Modularkorrespondenzen) im Modul der elliptischen ganzen Modulformen der Dimension \(-k\), \(k \ge 2\), lassen sich durch einen Kunstgriff als Integraloperatoren schreiben. Die Auswertung der allgemeinen Spurformel liefert die folgende Spurformel für die \(T_n\):
\[ \text{Spur}(T_n) = -\frac12 \sum_{s^2<4n} h(s^2 - 4n) \frac{\eta_s^{k-1} - \bar\eta_s^{k-1}}{\eta_s - \bar\eta_s} - \mathop{{\sum}'}_{d\mid n,\ d\le \sqrt n} d^{k-1} + \delta(\sqrt n) \frac{k-1}{12} n^{k/2-1}; \]
hier ist \(\eta_s = \tfrac12 (s+\sqrt{s^2-4n})\), \(\bar\eta_s = \tfrac12 (s-\sqrt{s^2-4n})\); \(h(u)\) ist die Klassenzahl der binären quadratischen Formen der Diskriminante \(u\) mit der Modifikation \(h(-3)=\tfrac13\), \(h(-4)=\tfrac12\); \(\mathop{{\sum}'}\) bedeutet, daß der Summand \(d = \sqrt n\quad\) \(\tfrac12\)-mal zu zählen ist. Endlich ist \(\delta(\sqrt n)=1\), wenn \(\sqrt n\equiv 0\bmod 1\), sonst \(\delta(\sqrt n)=0\). Die Formel gilt für \(k>2\); im Falle k = 2 ist noch das Zusatzglied \(\displaystyle\sum_{d\mid n} d\) anzubringen.
(Für einen anderen Beweis dieser Formel im Rahmen der klassischen Funktionentheorie vgl. die Arbeit des Ref. in [Math. Z. 67, 267–298 (1957; Zbl 0080.06003)]).
Reviewer: M. Eichler

MSC:
11F72 Spectral theory; trace formulas (e.g., that of Selberg)
11M36 Selberg zeta functions and regularized determinants; applications to spectral theory, Dirichlet series, Eisenstein series, etc. (explicit formulas)
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