Soluzioni periodiche di equazioni a derivate parziali di tipo iperbolico non lineari. (Italian) Zbl 0072.10101

Prodi, Giovanni

Ann. Mat. Pura Appl., IV. Ser. 42, 25-49 (1956).

Keywords:

Partial Differential Equations; Potential Theory

References:

[1]	Zabotinskii, Intorno alle soluzioni periodiche di equazioni differenziali a derivate parziali, Doklady Akad. Nauk SSSR, 56, 469-472 (1947)
[2]	J J Stoker,Oscillations périodiques des sistèmes non linéaires ayant une infinité de degrés de liberté, « Actes du Colloque International des Vibrations non linéaires », Ile de Porquerolles, 1951, pp. 61-75.
[3]	I risultati esposti in questo lavoro sono stati oggetto di una comunicazione al V Congresso dell’ U.M.I. (Pavia, ottobre 1955), dove essi però erano stabiliti sotto condizioni più restrittive di quelle attuali, per quello che riguarda il dominio spaziale considerato.
[4]	Le soluzioni generalizzate di cui si tratta furono introdotte sistematicamente daSobolev. Però precedentemente,Friedrichs (inÜber fortsetzbare Anfangsbedingungen bei hyperbolischen Differentialgleichungen in drei Veränderlichen, « Nachrichten von der Gessell. der Wissensch. », Göttingen, 1932) aveva introdotto una classe di funzioni, soddisfacenti a certe limitazioni integrali ed impostato in essa il problema diCauchy in modo da verificare il principio diHuygens, formulato in senso esteso. Egli aveva, nel contempo, dimostrato che questo non sarebbe stato possibile (in più di due variabili) impostando il problema diCauchy nella classe delle funzioni dotate di derivate continue fino ad un certo ordine. Il tipo di soluzione generalizzata di cui si fa uso nel presente lavoro è molto vicino a quello adottato daFriedrichs inSymmetric hyperbolic linear differential equations, « Comm. on pure and appl. math. »,8, 345-391 (1954).
[5]	Lo studio di queste funzioni — che hanno assunto importanza sempre crescente in analisi — ha radići nei lavori di numerosi autori (Lebesgue, Beppo Levi, Fubini, Evans, ...). Esse furono considerate sistematicamente dal punto di vista dell’analisi funzionale daO. Nikodym,Sur une classe de fonctions considérée dans l’étude du problème de Dirichlet, « Fund. Math. »,21, 128-150 (1933). Il loro studio è stato approfondito, da vari punti di vista, daJ. W. Calkin eC. B. Morrey,Functions of several variables and absolute continuity, I. e II, « Duke Math. Jour. »,6, 170-186 e 187-215 (1940) e daG. Stampacchia,Sopra una classe di funzioni in n variabili, « Ricerche di matematica »,1, 27-54 (1952). Per il nostro scopo preferiamo presentare queste funzioni come completamento, rispetto ad una certa metrica, di uno spazio lineare generato da funzioni più regolari (Cfr. lavoro diFriedrichs citato in (4)).
[6]	Per la teoria variazionale di questi integrali rimandiamo alla classica opera:Courant eHilbert,Methoden der Mathematischen Physik, Bd. II, Cap. VII. L’annullarsi delle funzioni ω suFJG va inteso nel senso che è li precisato, senso che noi abbiamo adottato nella definizione diH_i.
[7]	Circa la possibilità di applicare la formula diGreen, cfr. op. cit. in (6), pag. 484.
[8]	Ved. nota (7).
[9]	Scorza Dragoni, G., Un teorema sulle funzioni continue rispetto ad una e misurabili rispetto ad un’altra variabile, Rend. Sem. Mat. di Padova, 17, 102-106 (1948) · Zbl 0032.19702
[10]	Leray, J.; Schauder, J., Topologie et équations fonctionnelles, Annales de l’Ecole Norm. Sup., 51, 45-78 (1934) · JFM 60.0322.02
[11]	Ved. op. citata in (6); in part. pag. 489.
[12]	Kuratowski,Topologie, Vol. I (Varsavia, 1952); in part. § 30, VIII, pag. 326.
[13]	Ved. 1. citato in (15). · JFM 52.0035.02