Charakterisierung der Holomorphiegebiete durch die vollständige Kählersche Metrik. (German) Zbl 0073.30203

Grauert, Hans

Math. Ann. 131, 38-75 (1956).

Keywords:

Theory of Functions

References:

[1]	Vgl.H. Behnke undP. Thullen: Theorie der Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen. Erg. d. Math. 3, Neuauflage: Chelsea Publ. Comp. New York 1948. Siehe hier besonders p. 70 und die dort angegebene Literatur.
[2]	H. Behnke undP. Thullen, loc. cit.1), p. 73; fernerH. Cartan undP. Thullen, Regularitäts- und Konvergenzbereiche. Math. Ann.106, 617-647 (1932).
[3]	K. Oka: Sur la théorie des fonctions de plusieurs variables. VI: Domaines pseudoconvexes. Tôhoku Math. J. II., Ser.49, 19-52 (1942). · Zbl 0060.24006
[4]	P. Lelong: Domaines convexes par rapport aux fonctions plurisousharmoniques, J. d’Analyse Math.2, 170-208 (1952); ferner:P. Lelong: Fonctions plurisousharmoniques; mesures de Radon associées. Applications aux fonctions analytiques. Colloque Brüssel 1953, pp. 21-40. · Zbl 0049.18102
[5]	Vgl.P. Lelong, loc. cit.4) Brüssel, p. 26.
[6]	Vgl. die grundlegende Arbeit vonE. Kähler: Über eine bemerkenswerte Hermitesche Metrik. Hamb. Sem. Abh.9, 173-180 (1933). · Zbl 0005.41301
[7]	Soweit bekannt ist, verwendetC. Caratheodory in seinem Züricher Kongreßvortrag 1932 den Begriff der komplexen Mannigfaltigkeit zum ersten Male. Umfangreiche Untersuchungen der komplexen Mannigfaltigkeiten sind dann vonB. Eckmann, Ch. Ehresmann, H. Hopf, S. Chern, W. Wu, J. P. Serre, K. Kodaira, D. C. Spencer u. a. durchgeführt worden.
[8]	Vgl.K. Stein: Analytische Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen und das zweite Cousinsche Problem. Math. Ann.123, 201-222 (1951) und die Arbeiten vonH. Cartan: Seminaire 1951-52, Exposé IX; Variétés analytiques complexes et cohomologie, Colloque Brüssel (1953); ferner:J. P. Serre, Quelques problèmes globaux relatifs aux variétés de Stein. Colloque Brüssel 1953. In der französischen Literatur heißen holomorph vollständige Mannigfaltigkeiten: variétés de Stein. · Zbl 0042.08703
[9]	Zur Definition der Holomorphiekonvexität von komplexen Mannigfaltigkeiten vgl.H. Cartan, loc. cit.8) Brüssel, p. 49. · Zbl 0042.08703
[10]	Vgl. zum Begriff der analytischen Menge:R. Remmert undK. Stein: Über die wesentlichen Singularitäten analytischer Mengen. Math. Ann.126, 263-306 (1953). · Zbl 0051.06303
[11]	Nach einem bekannten Fortsetzungssatz läßt sich jede außerhalb einer höchstens (n ? 2)-dimensionalen analytischen Menge \(A \subset \mathfrak{V}^n \) holomorphe Funktion in die Punkte vonA holomorph fortsetzen. \(\mathfrak{V}^n - A\) ?A ist deshalb sicher nicht holomorphkonvex. Vgl. dazu:H. Behnke undP. Thullen, loc. cit.1), p. 73, Satz 37.
[12]	Es ist keineswegs leicht einzusehen, ob jedes Holomorphiegebiet über demC n holomorphkonvex ist. Während das Problem schon 1932 vonH. Behnke undP. Thullen für schlichte und endlichblättrige Gebiete gelöst wurde, konnte erstK. Oka 1953 zeigen, daß jedes unverzweigte Holomorphiegebiet über demC n holomorphkonvex ist. Vgl.K. Oka: Sur les fonctions analytiques de plusieurs variables. IX.-Domaines finis sans point critique intérieur. Japanese J. Math. 1953.
[13]	Vgl.Behnke-Thullen, loc. cit.1), p. 33.
[14]	Schon 1905 zeigteK. Kommerell, daß alle analytischen Flächen imC 2 in bezug auf die euklidische Metrik Minimalflächen sind. Vgl.K. Kommerell, Riemannsche Flächen im ebenen Raum von vier Dimensionen. Math. Ann.60, 548-596 (1905), insbesondere pp. 586ff.
[15]	Vgl.Behnke-Thullen, loc. cit.1), p. 35.
[16]	K. Oka, loc. cit.12). Vgl. fernerH. Bremermann: Über die Äquivalenz der pseudokonvexen Gebiete und der Holomorphiegebiete im Raum vonn komplexen Veränderlichen. Math. Ann.128, 63-91 (1954).F. Norguet: Sur les domaines d’holomorphie des fonctions uniformes des plusieurs variables complexes. Bull. Soc. Math. France82, 137-159 (1954). · Zbl 0056.07801
[17]	Vgl.R. Remmert undK. Stein, loc. cit.10). · Zbl 0051.06303
[18]	Vgl.H. Cartan, loc. cit.8) Brüssel, hier p. 51. · Zbl 0042.08703
[19]	H. Hopf: Über komplex-analytische Mannigfaltigkeiten. Rend. Math. appl. Serie V,10, 169-182 (1951), sowieH. Hopf: Schlichte Abbildungen und lokale Modifikationen 4-dimensionaler komplexer Mannigfaltigkeiten. Comm. Math. Helvet.29, 132-155 (1955). · Zbl 0044.20003
[20]	K. Stein, loc. cit.8). · Zbl 0042.08703
[21]	Das ergibt sich unmittelbar aus den Ergebnissen einer Arbeit vonK. Oka, loc. cit.12).
[22]	Vgl.H. Cartan: Idéaux et modules des fonctions analytiques des variables complexes. Bull. Soc. Math. France78, 28-64 (1950).
[23]	Vgl.H. Cartan, loc. cit.8) Brüssel, théorème A. · Zbl 0042.08703
[24]	Zur Def. vgl. die ersten Zeilen von § 7.
[25]	Vgl.E. Kähler, loc. cit.6). · Zbl 0005.41301
[26]	Eine Definition der subharmonischen Funktion findet sich beiH. Behnke undP. Thullen, loc. cit.1), p. 47.
[27]	W. F. Osgood, Lb. II1, p. 117 (Satz 5).
[28]	Vgl. loc. cit.11).
[29]	Vgl. loc. cit.26).
[30]	S. Bochner undW. T. Martin: Several Complex Variables, p. 90. Princeton 1948.
[31]	NachWirtinger ist: \(\frac{{\partial f\left( z \right)}}{{\partial z}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\partial f}}{{\partial x}} + \frac{1}{i}\frac{{\partial f}}{{\partial y}}} \right), \frac{{\partial f\left( z \right)}}{{\partial \tilde z}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\partial f}}{{\partial x}} + \frac{1}{i}\frac{{\partial f}}{{\partial y}}} \right)\) . · JFM 50.0697.02
[32]	E. Kähler, loc. cit.6). · Zbl 0005.41301
[33]	Vgl.H. Grauert undR. Remmert, Plurisubharmonische Funktionen in komplexen Räumen. Math. Z. 1956.
[34]	Vgl. Def. nach Satz 4), ferner zu dem Satz über subharmonische Funktionen loc. cit.28).
[35]	K. Stein: Zur Theorie der Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen. Die Regularitätshüllen niederdimensionaler Mannigfaltigkeiten. Math. Ann.114, 543-569 (1937), hier bes. S. 557, Hilfssatz 1. Vgl. fernerS. Hitotumatu: Note on the Envelope of Regularity of a Tube Domain, Proc. of the Jap. Acad.26, 7, 21-25 (1950). · Zbl 0017.07405
[36]	K. Oka (loc. cit.12)) konnte zeigen, daß ein Gebiet \(\mathfrak{G}\) genau dann Holomorphiegebiet ist, wennF(1) mit dem Rander d \(\mathfrak{G}\) von \(\mathfrak{G}\) keinen Punkt gemeinsam haben kann. Im Gegensatz dazu können wir nur zeigen, daßF(1) mitr d \(\mathfrak{G}\) kein Kontinuum gemeinsam hat.
[37]	Vgl.Eisenhart, Riemannian Geometry, Princeton 1949, hier besonders pp. 176-178.
[38]	Vgl. auchH. Guggenheimer: Über komplex-analytische Mannigfaltigkeiten mit Kählerscher Metrik. Com. Math. Helvet.25, 257-297 (1951). · Zbl 0044.36802
[39]	Vgl. etwaH. Behnke undP. Thullen loc. cit.1), Satz 16 und p. 55.
[40]	Vgl.S. Hitotumatu: On some conjectures concerning pseudoconvex domaines. J. Math. Soc. Japan6, 177-195 (1954); hier besonders p. 187. · Zbl 0057.31503
[41]	Vgl.S. Hitomatu, loc. cit.41), p. 179, Propos. 2.
[42]	Vgl.K. Oka, loc. cit.12).
[43]	Vgl.H. Behnke undP. Thullen, loc. cit.1), p. 54.