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Dichtentheoretische Sätze der Primzahltheorie. (German) Zbl 0074.27201
,,Eine Menge \(M\) hat die natürliche \(\varphi(x)\)-Dichte \(\tau\)” soll heißen
\[ \left( \sum_{n\le x,\ n\in M} 1\right) \biggl / \varphi(x) \rightarrow \tau\quad\text{für}\ x\to\infty. \]
Seien \(M_1, \ldots, M_k\) Mengen natürlicher Zahlen und \(M_1 M_2 \cdots M_k\) die Menge der Zahlen, die Produkte aus \(k\) Faktoren sind, welche der Reihe nach aus \(M_1, \ldots, M_k\) stammen. Es wird eine Anzahl von Sätzen bewiesen, für die die folgenden typisch sind:
Ist \(M\) eine Teilmenge der Menge der Primzahlen mit der natürlichen \(x/\log x\)-Dichte \(\tau^k\), so hat \(M^k\) die \((k-1) !^{-1} x (\log\log x)^{k-1}/\log x\)-Dichte \(\tau^k\).
Sind \(M_1, \ldots, M_k\) paarweise elementfremde Mengen von Primzahlen mit den \(x/\log x\)-Dichten \(\tau_1, \ldots, \tau_k\), so ist die \(kx(\log \log x)^{k-1}/\log x\)-Dichte von \(M_1 M_2 \cdots M_k\) gleich \(\tau_1 \tau_2 \cdots \tau_k\).
Die Verallgemeinerungen beziehen sich auf den Fall, daß die Menge von Primzahlen durch Mengen mit paarweise teilerfremden Elementen ersetzt werden, sowie statt der Existenz der \(\varphi(x)\)-Dichte nur die Existenz von oberen und unteren Schranken der Form \(\text{const }\varphi(x)\) für die Summe \(\displaystyle\sum_{\substack{n\le x \\ n\in M}} 1\) vorausgesetzt wird.

MSC:
11N05 Distribution of primes
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References:
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