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The theory of characters of commutative Hausdorff bicompact semi-groups. (English) Zbl 0075.01401
Der Verf. behandelt kommutative kompakte Hausdorffsche Halbgruppen \(S\) und die Morphismen \(X: S\to C\) der topologischen Halbgruppe \(S\) in die topologische Halbgruppe \(C\) aller komplexen Zahlen \(z\) mit \(| z|\leq 1\) unter der Multiplikation. Sie werden als Charaktere bezeichnet. Die Menge \(E\) aller Idempotenten von \(S\) ist eine abgeschlossene Unterhalbgruppe und sogar ein Halbverband mit der Multiplikation als untere Grenze zweier Elemente; \(E\) spielt eine wichtige Rolle als ein Modell für verschiedene nach und nach auftretende Halbverbände. Ist \(e\in E\), so bezeichnet \(P(e)\) die Halbgruppe aller \(s\), für die \(e\in\Gamma(x)=\{x,x^2,x^3,\dots\}\) gilt, und es ist \(S\) die disjunkte Vereinigung aller \(P(e)\), \(e\in E\). Ferner sei \(H(e)\) die zu \(e\) gehörige maximale Untergruppe; offenbar ist \(H(e)\subseteq P(e)\). Ein Ideal \(J\subseteq S\) ist ein Primideal, wenn \(S \setminus J\) eine Halbgruppe ist. Da für jeden Charakter \(\chi\) die Menge \(J=\{x:~|\chi(x)|<1\}\) (bzw. \(J=\{x:~\chi(x) = 0\}\)) ein offenes (bzw. abgeschlossenes) Primideal ist, interessiert das Studium der Primideale. Es gilt der Satz: Zu \(e\in E\) ist \(J(e)=\bigcup\{P(f):~f\in E, ef\neq f\}\) ein offenes Primideal,und alle offenen Primideale erhält man auf diese Weise. Die Abbildung \(e\to J(e)\) ist ein Halbverbandsisomorphismus von \(E\) auf den Halbverband aller \(J(f)\) hinsichtlich des mengentheoretischen Durchschnitts. Die abgeschlossenen Primideale interessieren besonders dann, wenn sie die genaue Nullstellenmenge eines Charakters sind; solche Ideale heißen erzeugend. Das Beispiel von \([0,1]\) mit \(\min\) als Multiplikation zeigt, daß es abgeschlossene nichtleere, nicht erzeugende Primideale geben kann. Zwei Charaktere, die auf einem Ideal übereinstimmen, sind gleich, wenn sie in wenigstens einem Punkt des Ideals von 0 verschieden sind. Ein nicht trivialer Charakter eines Ideals kann zu genau einem Charakter von ganz \(S\) fortgesetzt werden (zur Fortsetzung von Charakteren vgl. man z.B auch K. A. Ross [Proc. Am. Math. Soc. 12, 988–990 (1961; Zbl 0100.25603)]). Die Menge aller Charaktere von \(S\) bildet eine Halbgruppe \(\hat{S}\) auf natürliche Weise; eine Topologie wird nicht auf ihr betrachtet. Um die Charakterhalbgruppe der Halbgruppen \(C, R = [0,1]\) mit der natürlichen Multiplikation, und der Produkthalbgruppen \(R^2\), \(R^\mathbb{N}\) (\(\mathbb{N} =\) Menge der natürlichen Zahlen) zu berechnen, stellt Verf. fest, daß die Charakterhalbgruppe \(\hat{S}\) des Produkts \(S = S_1\times S_2\) isomorph ist zum Reesquotienten von \(\hat{S}_1\times \hat{S}_2\) modulo dem Ideal \((0\times \hat{S}_2)\cup (\hat{S}_1\times 0)\) (mit \(0\) als den jeweiligen Nullcharakteren). Ist \(J\) ein erzeugendes Ideal von \(S\), so bezeichne \(J\subseteq\hat{S}\) die Halbgruppe aller Charaktere, die auf \(J\) verschwinden. Durch \(J\to J^0\) wird der Halbverband aller erzeugenden Ideale bezüglich des Durchschnitts antiisomorph auf den Halbverband aller \(J^0\) bezüglich \(J ^0 \leq I^0\Leftrightarrow J^0I^0\subseteq I^0\) abgebildet. Die Halbgruppe \(\hat{S}\) ist disjunkte Vereinigung aller \(J^0\) und in jedem \(J^0\) gilt die Kürzungsregel. Genau dann ist \(J^0\) eine Gruppe, wenn \(J\) kompakt-offen ist; für endliches \(S\) ist dies natürlich immer der Fall. Ist \(S\) eine Vereinigung von Gruppen, dann sind alle \(J^0\) Gruppen. Ist \(S\) darüberhinaus zusammenhängend, so gilt demnach \(\hat{S}\emptyset^0\cup S^0\). Ist \(J\) ein offen-kompaktes erzeugendes Ideal, so wird durch \(\epsilon(J)(x) = 0\) für \(x\in J\), \(=1\) für \(x\not\in J\) ein Idempotent \(\epsilon(J)\in \hat{S}\) erklärt, und die Menge \(E'\) aller Idempotenten von \(\hat{S}\) wird so erzeugt. Aus \(I\subseteq J\) folgt \(\epsilon (I)\leq \epsilon (J)\) [d.h. \(\epsilon(I) \epsilon(J )=\epsilon(I)\). Ist nun \(J(e)^0\), \(e\in E\) ein erzeugendes Ideal, so ist \(J(e)^0\) eine Gruppe, die zur Charaktergruppe von \(H(e)\) isomorph ist. Nun seien \(e,f,g\in E\) Idempotente, für die \(J(e)\), \(J(f)\), \(J(g)\) kompakt-offen erzeugend sind; mit \(\epsilon =\epsilon(J(e))\), \(\varphi = \epsilon(J(f))\), \(\gamma= \epsilon(J(g))\) gelte \(\epsilon\varphi = \gamma\). Dann ist \(J(e)^0J(f)^0=(J(e)^0\epsilon(J(f)^0\varphi)=(J(e)^0\gamma)J(f)^0\gamma)\); daher muß man die Struktur von \(J(e)^0\gamma\) untersuchen. Die Gruppe \(J(e)^0\gamma\) ist isomorph zur Charaktergruppe von \(H(g)e\). Schließlich gibt Verf. eine hinreichende und notwendige Bedingung dafür an, daß ein Primideal erzeugend ist; diese ist technischer Natur und kann hier nicht wiedergegeben werden.

MSC:
22A15 Structure of topological semigroups
20M14 Commutative semigroups
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Full Text: EuDML
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