On the axiomatic of modular lattices. (Russian. English summary) Zbl 0075.02101

Kolibiar, Milan

Czech. Math. J. 6(81), 381-386 (1956).

Es ist bekannt, daß für einen Verband die Identität \[ ((a\cap b)\cap c)\cup (a\cap d) = ((d\cap a)\cup (c\cap b))\cap a \qquad (*) \] der Modularität gleichwertig ist. Mit Hilfe dieser Identität gibt der Verf. ein unabhängiges Axiomensystem für modulare Verbände und eines für modulare Verbände mit größtem Element. In der Tat beweist er folgendes: Es sei \(V\) eine algebraische Struktur mit zwei zweistelligen Verknüpfungen \(\cap\) und \(\cup\). Sind in \(V\) die Identitäten \((*)\) und \((a\cup (b\cap b))\cap b = b\) erfüllt, so ist \(V\) ein modularer Verband. Ist aber in \(V\) die Identität (*) erfüllt und existiert außerdem ein Element \(i\) in \(V\), für welches \(a\cup i = i\) und \(i\cap a = a\) mit jedem \(a\in V\) gelten, so ist \(V\) ein modularer Verband mit größtem Element \(i\).

Reviewer: G. Szász

MSC:

06C05

Modular lattices, Desarguesian lattices

Keywords:

modular lattice