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Local \(C^n\) transformations of the real line. (English) Zbl 0077.06201

\(T^n\) (con \(n=1,2,\ldots,\infty)\) rappresenta la totalità delle funzioni reali \(f(x)\) definite in un intorno dell’origine, crescenti e della classe \(C^n\) in tale intorno, annulantisi nell’origine. Di siffatte funzioni l’A. studia talune proprietà che hanno carattere puramente locale e invariante per cambiamenti di coordinate. Uno qualunque di questi cambiamenti viene definito, relativamente alla totalità \(T^n\), mediante un’equazione del tipo \(y=g(x)\), con \(g\in T^n\) [e \(g'(0)\ne 0\), se \(n>0]\). Di particolare interesse il teorema: se \(f\in T^n\) con \(n>0\) ed \(f'(0) = a\) (numero comunque prefissato purchè \(\ne 0,1)\), esisto sempre funzioni \(g\in T^{n-1}\) tali che \(g^{-1}(f[g(x)]) = ax\) per \(\vert x\vert\) sufficientemente piccolo. Siffatte funzioni \(g\) sono tutto fra lore proporzionali.
English translation:
\(T^n\) (with \(n = 1,2, \ldots, \infty)\) represents the totality of the real functions \(f(x)\) defined in a neighborhood of the origin, increasing and class \(C^n\) in that neighborhood, vanishing in the origin. Of such functions the author studies certain properties which are purely local and invariant under changes of coordinates. Any of these changes is defined, relative to the totality \(T^n \), by an equation of the type \(y = g(x) \), with \(g \in T^n \) [e \(g '(0) \ne 0\), if \(n> 0] \). Of particular interest is the theorem: if \(f \in T^n \) with \(n> 0\) and \(f '(0) = a \) (number in any case prefixed as long as \(\ne 0,1) \), there are always functions \(g \in T^{n-1} \) such that \(g^{- 1}(f [g(x)]) = ax \) for \(\vert x \vert \) small enough. Such functions \(g\) are all proportional to each other.
Reviewer: C. Viola

MSC:

26-XX Real functions
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